Математический маятник

Математический маятник — идеализация: точечный груз на нерастяжимой, невесомой нити, качающийся без сопротивления воздуха. Реальный грузик на шнурке ведёт себя почти так же, если нить много длиннее груза, а углы малы. Период его колебаний — самая узнаваемая формула всей механики колебаний, и в ней прячется сюрприз: ни масса груза, ни (при малых углах) амплитуда размаха в формулу не входят. Общий контекст колебаний — в уроке механические колебания.

Откуда формула. Второй закон Ньютона по касательной к траектории: $ml\ddot{\theta }=-mg\sin \theta$ — возвращающая сила тянет к положению равновесия. При малых углах $\sin \theta \approx \theta$ (в радианах!), и уравнение превращается в $\ddot{\theta }=-\frac{g}{l}\theta$ — гармонические колебания с ${\omega }^2=g/l$. Период $T=2\pi /\omega =2\pi \sqrt{l/g}$. Масса сократилась ещё в уравнении: груз потяжелее тянет вниз сильнее, но и ленивее разгоняется — эффекты гасят друг друга. Не входит в формулу и амплитуда: это изохронность, которую, по легенде, Галилей открыл, глядя на качающееся паникадило собора.

Где это работает: маятниковые часы Гюйгенса били время именно из-за изохронности, маятник Фуко под куполом Пантеона медленно поворачивал плоскость качания, доказав вращение Земли, а гравиметры ловят изменения $g$ над рудными залежами по сдвигу периода. Энергия при качании перекачивается из потенциальной в кинетическую и обратно — механика процесса разобрана в уроке работа и энергия; все формулы темы собраны в шпаргалке по формулам физики (механика).