Механические колебания: маятники, частота и резонанс

Качели, стрелка весов, струна гитары, поршень насоса — мир любит повторяться. Механические колебания — движения, которые повторяются через равные промежутки времени, — самая изученная глава динамики и лучший полигон для дифференциальных уравнений; даже уравнение колебаний струны собирается из таких же осцилляторов — по одному на каждую моду. Разберёмся, почему маятник качается ровно, как маятник часов, и почему солдатам приказывают сбивать шаг на мосту.

Гармонические колебания: определение#

Колебание называют гармоническим, если координата меняется по закону синуса или косинуса:

Расшифровка: $A$ — амплитуда, максимальное отклонение от положения равновесия (в метрах); $\omega$ — циклическая частота в рад/с; $\omega t+{\phi }_0$ — фаза, определяющая состояние колебания в каждый момент; ${\phi }_0$ — начальная фаза. Период $T=\frac{2\pi }{\omega }$ — время полного цикла, частота $\nu =\frac{1}{T}$ — число циклов в секунду (герц). Маятник с периодом 2 с имеет частоту 0.5 Гц и $\omega =\pi \approx 3.14$ рад/с.

Скорость и ускорение колеблющегося тела — снова синусы и косинусы, только сдвинутые по фазе: $v=-A\omega \sin (\omega t+{\phi }_0)$, $a=-A{\omega }^2\cos (\omega t+{\phi }_0)$. Отсюда главное свойство: ускорение пропорционально координате и направлено против неё, $a=-{\omega }^{2}x$. Тело стремится к равновесию тем сильнее, чем дальше от него ушло — в этом весь секрет колебательного движения.

Для работы с фазами и сдвигами синусов пригодится шпаргалка тригонометрических формул — там косинус суммы и приведение, без которых фазовые задачи решаются мучительно.

Пружинный маятник: колебания из уравнения Ньютона#

Возьмём груз массой $m$ на пружине жёсткостью $k$. Сместим груз на $x$: возникнет возвращающая сила $F=-kx$. Второй закон Ньютона даёт $m\ddot{x}=-kx$, или:

Решением такого дифференциального уравнения служит как раз гармоника $x=A\cos (\omega t+{\phi }_0)$, если частота равна:

Пример: груз 0.5 кг на пружине жёсткостью 200 Н/м. $\frac{m}{k}=0.0025{\text{с}}^2$, корень — 0.05 с, период $T=2\pi \cdot 0.05\approx 0.31$ с, частота около 3.2 Гц. Заметьте изоморфизм с законом Гука из урока об энергии: жёстче пружина — быстрее колебания, тяжелее груз — медленнее.

Математический маятник (точка на невесомой нити длиной $l$) живёт по похожему закону при малых углах: $T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$. Маятник длиной 1 м на Земле имеет период $T=2\pi \sqrt{\frac{1}{9.8}}\approx 2$ с. Обратите внимание: период зависит от $g$ — поэтому секундные маятники в разных широтах идут чуть по-разному, а по расхождению хода когда-то искали форму Земли.

1. 1
   Цель: секундный маятник, то есть период $T=2$ с — «тик» туда, «так» обратно. Из формулы $T=2\pi \sqrt{l/g}$ выражаем длину: $l=g{\left(\frac{T}{2\pi }\right)}^2$.
2. 2
   Подставляем числа: $l=9.8\cdot (2/6.283{)}^2\approx 9.8\cdot 0.1013\approx 0.99$ м — почти ровно метр, поэтому классические напольные часы такие высокие.
3. 3
   Проверка в обратную сторону: $\sqrt{0.99/9.8}\approx 0.318$ с, умножаем на $2\pi \approx 6.283$ — выходит $2.0$ с. Сходится.
4. 4
   Обратная задача: часы отстают вдвое, значит, период вдвое больше нужного. Раз период пропорционален корню из длины, маятник укорачивают вчетверо.

Энергия колебаний: перекачка туда-обратно#

В любой момент полная механическая энергия маятника — сумма кинетической и потенциальной частей. В крайних точках вся энергия потенциальная ($\frac{k{A}^2}{2}$ для пружины), в положении равновесия — вся кинетическая. Между ними идёт непрерывная перекачка, но сумма постоянна — потому колебания и не затухают без трения:

Отсюда практический вывод: энергия растёт как квадрат амплитуды. Удвоили размах — вчетверо больше энергии. Певец, повышающий громкость в десять раз, качает голосовые связки с амплитудой лишь в $\sqrt{10}\approx 3.2$ раза больше.

Затухание и резонанс#

Настоящие колебания всегда что-то тормозит: воздух, внутреннее трение, сопротивление среды. При небольшом трении (сила $-b\dot{x}$) решение превращается в затухающую синусоиду: амплитуда падает по экспоненте $A(t)=A_0{e}^{-\beta t}$, где $\beta =\frac{b}{2m}$ — коэффициент затухания. Через время порядка $\frac{1}{\beta }$ движение практически умирает.

Если же качать систему внешней силой, начинается самое интересное. Амплитуда вынужденных колебаний резко растёт, когда частота вынуждающей силы приближается к собственной частоте системы, — это резонанс. Качели разгоняются, только толкая их в такт. Формально резонансная частота чуть меньше собственной из-за затухания, но при малом трении они совпадают.

Резонанс бывает другом и врагом. Друг: радиоприёмник выделяет одну частоту из тысяч, МРТ-томограф раскачивает ядра атомов. Враг: 7 ноября 1940 года рухнул Такомский мост в США — ветер раскачал его на собственной частоте; рота солдат, шагающая в ногу по мосту, способна повредить конструкцию, отсюда приказ «сбивать шаг». Сейсмостойкие здания проектируют так, чтобы их собственные частоты не совпадали с типичными частотами толчков.

Полный числовой прогон: груз на пружине

1. 1
   Циклическая частота: $\omega =\sqrt{k/m}=\sqrt{5/0.2}=5$ рад/с
2. 2
   Период: $T=2\pi /\omega \approx 1.26$ с, частота $\nu \approx 0.8$ Гц
3. 3
   Закон движения: $x(t)=0.04\cos (5t)$ — взяли косинус, значит старт из крайнего положения
4. 4
   Максимальная скорость: $v_{\max }=A\omega =0.04\cdot 5=0.2$ м/с — в положении равновесия
5. 5
   Максимальное ускорение: $a_{\max }=A{\omega }^2=0.04\cdot 25=1$ м/с² — в крайних точках
6. 6
   Полная энергия: $E=\frac{k{A}^2}{2}=\frac{5\cdot 0.0016}{2}=0.004$ Дж — четыре миллиджоуля, а движения хватает

Есть приём посерьёзнее: частоту можно вытащить из энергии. Приравняйте максимальную кинетическую энергию к максимальной потенциальной: $\frac{m{v}_{\max }^2}{2}=\frac{k{A}^2}{2}$. Поскольку $v_{\max }=A\omega$, сразу выходит ${\omega }^2=k/m$ — тот же ответ без дифференциальных уравнений. Для математического маятника энергетика даёт $v_{\max }^2=2gl(1-\cos {\theta }_0)\approx gl{\theta }_0^2$ при малых углах, и ${\omega }^2=g/l$ выпадает снова. Энергетический метод — запасной вход в любую задачу о колебаниях.

• Жёстче пружина — быстрее колебания: $\omega =\sqrt{k/m}$
• Длиннее нить — медленнее качания: $\omega =\sqrt{g/l}$
• Скорость максимальна в равновесии, ускорение — в крайних точках
• Резонанс: качай в такт собственной частоте — амплитуда взлетит