Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение (ДУ) описывает не состояние, а правило изменения: «скорость пропорциональна количеству» → $y^{\prime }=ky$ → экспоненциальный рост/распад. Найдя решение, вы узнаёте само состояние в любой момент.

• $y^{\prime }=ky$ — рост населения, радиоактивный распад, остывание кофе
• $m{y}^{\prime \prime }+ky=0$ — колебания пружины и маятника
• $y^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+ky=f(t)$ — колебания с трением и внешней силой (мосты, подвеска авто)

Разбор одного решения: $y^{\prime }=2y$, $y(0)=5$. Угадываем экспоненту $y=C{e}^{2x}$, подставляем: $y^{\prime }=2C{e}^{2x}=2y$ — тождество при любом $C$. Начальное условие $y(0)=C=5$ даёт ответ $y=5e^{2x}$. При $x=2$ решение равно $5e^4\approx 273$ — экспоненциальный рост удваивает «скорость» удвоения функции.

Классификация — половина дела: уравнение с разделяющимися переменными, однородное ($y=f(y/x)$), линейное ($y^{\prime }+p(x)y=q(x)$, решается подстановкой Бернулли), уравнение в полных дифференциалах. Слева в уравнениях второго порядка — характеристическое уравнение: его корни определяют вид решения (экспоненты, колебания или их смесь). Порядок разбора типов — в нашем курсе дифференциальных уравнений.