ДУ первого порядка: основы, общее и частное решение

Утренний кофе остывает по предсказуемому закону, радиоактивный атом распадается «в среднем честно», а вклад в банке растёт по экспоненте. Что общего у этих трёх историй? Скорость изменения величины зависит от самой величины. Записанное языком производной, такое соотношение и есть дифференциальное уравнение — главный язык физики, химии, биологии и половины инженерных дисциплин.

Что такое дифференциальное уравнение#

Дифференциальное уравнение (сокращённо ДУ) — это уравнение, связывающее искомую функцию $y(x)$, её производную и независимую переменную $x$. В общем виде уравнение первого порядка пишут так:

Решить ДУ — значит найти все функции, которые при подстановке обращают его в тождество. Ни одно уравнение в вашем опыте до этого не было таким хитрым: искать нужно не число и не корни, а целую функцию целиком.

Порядок уравнения — это порядок старшей производной, которая в нём встречается. Степень производной при этом ни при чём: в уравнении $(y^{\prime }{)}^3+x=0$ старшая производная первая, значит порядок первый.

• $y^{\prime }=2x$ — уравнение первого порядка
• $y^{\prime \prime }+9y=0$ — второго порядка: есть вторая производная
• $x{y}^{\prime \prime \prime }=y^{\prime }+1$ — третьего порядка
• $(y^{\prime }{)}^2+y^2=1$ — снова первого: степень не считается

Общее и частное решение#

Возьмём простейшее уравнение $y^{\prime }=2x$ и подумаем: какая функция имеет производную $2x$? Ответ со второго курса школы: $y=x^2$. Но тут же вспоминаем таблицу интегралов и поправляемся: $y=x^2+C$, где $C$ — любая постоянная. Подставьте любое $C$ — тождество выполнится. Так рождается семейство решений.

Семейство функций $y=y(x,C)$, в котором константа $C$ пробегает все допустимые значения, называют общим решением. Уравнение первого порядка при гладкой правой части имеет общее решение ровно с одной константой — это не случайность, а отражение того, что производная первого порядка «видит» функцию с точностью до сдвига по вертикали.

А вот частное решение — одна конкретная функция из семейства. Чтобы её выделить, нужна дополнительная информация: значение решения в какой-то точке.

Классика жанра — модель роста $y^{\prime }=y$: скорость роста пропорциональна количеству. Чутьё подсказывает экспоненту $y=C{e}^x$ (проверьте: производная экспоненты равна ей самой). Зададим $y(0)=1$ — и из всего семейства выживет единственная кривая $y=e^x$.

Поле направлений — способ увидеть уравнение, ещё не решив его. Нарисуйте в каждой точке $(x,y)$ короткую чёрточку с наклоном $f(x,y)$ — и позвольте кривой «стекать» вдоль этих чёрточек, стартуя из начальной точки. Это как проложить маршрут по компасу: компас не знает конечного пункта, но в каждой точке знает направление.

Задача Коши: выбираем одну кривую из семейства#

Условие вида $y(x_0)=y_0$ называется начальным условием, а пара «уравнение + начальное условие» — задачей Коши. Геометрический смысл прозрачен: общее решение — пучок кривых, начальное условие — конкретная точка на плоскости, и мы просим ту кривую пучка, которая проходит через неё.

1. 1
   Обозначим $u=y-3$ — отклонение от равновесия. Тогда $y^{\prime }=u^{\prime }$, и уравнение превращается в $u^{\prime }=2u$
2. 2
   Это уравнение с разделяющимися переменными: $\frac{du}{u}=2dx$, интегрируем — $u=C{e}^{2x}$
3. 3
   Возвращаемся к $y$: общее решение $y=C{e}^{2x}+3$ — семейство экспонент с горизонтальной асимптотой $y=3$
4. 4
   Начальное условие $y(0)=1$: подставляем $x=0$ и получаем $1=C+3$, то есть $C=-2$
5. 5
   Ответ: $y=-2e^{2x}+3$. С отрицательной константой кривая стартует ниже равновесия и проваливается вниз — решение существует, но уходит в минус за конечное время

Обратите внимание на точку $y=3$: в ней правая часть обнуляется, и решение, попавшее туда, стоит на месте. Такие точки называются равновесиями, и их судьба — притягивать или отталкивать соседние решения — важна не меньше самой формулы. В нашем уравнении равновесие отталкивающее: чуть выше тройки решение улетает вверх, чуть ниже — вниз. Проверьте это на графике в симуляторе ниже.

Как проверять решение: метод подстановки#

Проверить решение ДУ проще, чем найти. Алгоритм всегда один: подставить функцию в уравнение и убедиться, что получается тождество. Возьмём пару $y=C{e}^{-x^2}$ и уравнение $y^{\prime }=-2xy$ — она встречается в физике диффузии постоянно.

1. 1
   Считаем левую часть по правилу цепочки: $y^{\prime }=C{e}^{-x^2}\cdot (-2x)=-2xC{e}^{-x^2}$
2. 2
   Смотрим на правую часть: $-2xy=-2x\cdot C{e}^{-x^2}$ — то же самое выражение
3. 3
   Сравниваем: тождество выполнено при любом $C$ — семейство $y=C{e}^{-x^2}$ решает уравнение $y^{\prime }=-2xy$
4. 4
   Бонус-наблюдение: все кривые семейства симметричны относительно оси $y$ и прижимаются к нулю при $x\to \pm \infty$ — так выглядит гауссов колокол

Заметьте: константа $C$ выжила и в левой, и в правой части — и это нормально. Тождество требуется для каждого значения $C$, а не для какого-то одного. Если бы $C$ сократился с одной стороны и остался с другой — решение неверное.

Ещё один разбор: остывание чая

Модель из первого абзаца доведём до чисел. Закон охлаждения Ньютона: $y^{\prime }=-k(y-T_{\text{комн}})$. Чай $95°$ в комнате $20°$, через 5 минут — $80°$. Замена $u=y-20$ даёт $u^{\prime }=-ku$ с решением $u=u_0{e}^{-kx}$. Подставляем данные: $75e^{-5k}=60$, откуда $e^{-5k}=0,8$ и $k=\frac{\ln 1,25}{5}\approx 0,045{\text{мин}}^{-1}$.

1. 1
   Через 15 минут: $y=20+75e^{-0,045\cdot 15}\approx 20+75\cdot 0,51\approx 58°$
2. 2
   Через 30 минут: $y\approx 20+75\cdot 0,26\approx 40°$ — пить уже можно
3. 3
   Проверка интуицией: чем ближе температура к комнатной, тем медленнее остывание — экспонента ведёт себя ровно так

• ДУ — уравнение на функцию, а не на число; решением служит семейство кривых
• Порядок равен старшей производной; степень производной не важна
• Общее решение плюс начальное условие — частное решение: это и есть задача Коши
• Проверка всегда одна: подставить ответ в уравнение и получить тождество

Ещё одно полезное умение — смотреть на равновесия. Точка $y_{\ast }$, где правая часть обнуляется, — решение-константа, а судьба соседей определяется знаком $f$ вокруг неё. Для $y^{\prime }=2(y-3)$ равновесие отталкивающее: слева от тройки решения убегают вниз, справа — вверх. Поменяйте знак: в $y^{\prime }=-2(y-3)$ все решения вползают в тройку со скоростью $e^{-2x}$ — равновесие притягивающее. Устойчивость читается прямо по правой части, до всякого решения; этим стоит пользоваться на контрольной для проверки знаков в ответе.

Что дальше? Уметь отличать порядок и ставить начальное условие — это азбука. Умеем. Дальше — алфавит и грамматика: классические типы уравнений, каждый со своим приёмом. Первый и самый важный — уравнения с разделяющимися переменными: они сводятся к двум интегралам. Так что расчехляйте тренажёр интегралов — без уверенного интегрирования в дифурах делать нечего.