Уравнения с разделяющимися переменными: как решать

Самый честный тип дифференциальных уравнений. Здесь не нужно ничего изобретать — только аккуратно разложить переменные по разным сторонам равенства и проинтегрировать каждую со своей стороны. Девяносто процентов студенческих ошибок в этой теме — не идеи, а арифметика: забытый модуль, потерянное решение, неправильный предел интегрирования. Разберём всё по полочкам.

Как узнать это уравнение в лицо#

Уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно привести к виду, где производная равна произведению функции от $x$ на функцию от $y$:

Ещё одна равноправная форма записи — через дифференциалы: $f_1(x)g_1(y)dx+f_2(x)g_2(y)dy=0$. Узнаётся по тому же признаку: каждая функция зависит ровно от одной переменной. Примеры того, что подходит:

• $y^{\prime }=xy$ — множители $x$ и $y$ видны сразу
• $y^{\prime }=\frac{e^x}{1+y^2}$ — тоже произведение: $e^x\cdot \frac{1}{1+y^2}$
• $x{y}^{\prime }=y\ln x$ — после деления на $x$: $y^{\prime }=\frac{y\ln x}{x}$
• $y^{\prime }=x+y$ — а вот это не разделяющееся: слагаемое $y$ прибавляется, а не умножается

Последний пункт важен: $x+y$ выглядит невинно, но попытки «расклеить» сумму обречены. Для таких уравнений нужны другие инструменты — они ждут вас в уроке про линейные ДУ и уравнение Бернулли.

Алгоритм разделения переменных#

Идея метода — заставить каждую переменную жить на своей стороне равенства. Работает это потому, что $y$ — функция от $x$, и $dy$ с $dx$ ведут себя как обычные множители (такое обращение с дифференциалами можно строго обосновать, но на практике пользуются им как рецепт).

1. 1
   Записать $y^{\prime }$ как $\frac{dy}{dx}$ — это ключ к методу
2. 2
   Собрать всё с $y$ слева (умножить на $dx$, разделить на $g(y)$): $\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$
3. 3
   Проинтегрировать обе стороны: $\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$ — получается алгебраическая связь $G(y)=F(x)+C$
4. 4
   Выразить $y$, если возможно, и подставить начальное условие, если оно дано

Оба интеграла — «тупые»: слева переменная $y$, справа переменная $x$, никаких зависимостей между ними. Если интеграл берётся — уравнение решено. Таблица интегралов тут нужнее, чем знание дифуров.

Разбираем пример: $y' = xy$ с условием $y(0) = 2$

У алгоритма есть молчаливый геометрический спутник. Уравнение $y^{\prime }=f(x,y)$ задаёт наклон касательной в каждой точке плоскости — ещё до того, как мы нашли хоть одно решение. Короткие отрезки этих наклонов образуют поле направлений, а интегральные кривые — это линии, всюду касающиеся его отрезков. Посмотрим, как семейство $y=C{e}^{x^2/2}$ живёт внутри собственного поля.

Модуль и константа: аккуратность важнее скорости#

Стоп-кадр из решения выше: из $\ln |y|=\frac{x^2}{2}+C_1$ мы получили $y=C{e}^{x^2/2}$. Как? Модуль даёт два знака: $y=\pm e^{C_1}{e}^{x^2/2}$. Объединяя оба знака в одну букву $C$, получаем семейство. Это законный фокус, но только если вы помните, откуда он: снятие модуля удваивает выбор знака, и знак прячется в константу. Писать $\ln y$ без модуля и потом делать большие глаза — плохой план: под логарифмом может оказаться отрицательное решение.

Неявный ответ — это тоже ответ#

После интегрирования связь между $x$ и $y$ не всегда удаётся развернуть в явную формулу $y=\phi (x)$. Например, уравнение $y^{\prime }=\frac{1+y^2}{1+x^2}$ разделяется на $\frac{dy}{1+y^2}=\frac{dx}{1+x^2}$ и интегрируется в $\mathrm{arctg}y=\mathrm{arctg}x+C$. Выразить $y$ можно — но через тангенс: $y=\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}x+C)$, и запись быстро становится неуклюжей. Ответ в виде $G(y)=F(x)+C$ — общий интеграл — считается полноценным решением, если проверка дифференцированием проходит (для неё связь $y^{\prime }=F^{\prime }(x)/G^{\prime }(y)$ читают прямо из неявной формы).

Есть и второй способ записи — через определённые интегралы с переменным верхним пределом: ${\int }_{y_0}^y\frac{du}{g(u)}={\int }_{x_0}^{x}f(s)ds$. Такая форма удобна тем, что начальное условие уже вшито в пределы — константа не появится вовсе. В численных задачах и симуляторах интегрируют именно так.

Ловушка: потерянные решения#

Деля на $g(y)$, мы молча предположили, что $g(y)\ne 0$. А если в некоторых точках это нарушено? Там могут жить особые решения, которые деление выбросило. Классический пример — уравнение $y^{\prime }=y^2$.

Разделяем: $\frac{dy}{y^2}=dx$, интегрируем $-\frac{1}{y}=x+C$ и получаем $y=-\frac{1}{x+C}$. Всё красиво, но функция $y\equiv 0$ тоже решает уравнение: её производная ноль, и справа ноль. А в семейство она не попала ни при каком $C$! Деление на $y^2$ её убило.

Забавно, что у $y=-\frac{1}{x+C}$ есть ещё драма в запасе: знаменатель обнуляется при $x=-C$, и решение улетает в бесконечность. Такой «взрыв за конечное время» — не баг, а реальное свойство модели (так описывают цепную реакцию). Проверяйте, где живёт знаменатель вашего ответа.

Пример с физикой: остывание кофе#

Закон охлаждения Ньютона: скорость остывания пропорциональна разности температур с комнатой. Если комната держит $20°$, а чашка — температура $T$, то $T^{\prime }=-k(T-20)$, где $k>0$ — константа скорости. Переменные разделяются заменой $u=T-20$: получаем $u^{\prime }=-ku$, знакомое уравнение с решением $u=C{e}^{-kx}$.

Пусть в момент $x=0$ кофе имел $90°$, а через 10 минут — $60°$. Тогда $u_0=70$, и $70e^{-10k}=40$, откуда $k=\frac{\ln 70/40}{10}\approx 0,056$. Через полчаса: $T=20+70e^{-0,056\cdot 30}\approx 20+70\cdot 0,187\approx 33°$. Всё, модель работает — и это обычное уравнение с разделяющимися переменными в костюме физической задачи.

Ещё пример: $y' = e^{x - y}$ с условием $y(0) = 0$

Правая часть выглядит монолитом, но раскладывается: $e^{x-y}=e^x\cdot e^{-y}$ — переменные разделяются. Пишем $e^{y}dy=e^{x}dx$ и интегрируем: $e^y=e^x+C$. Начальное условие $y(0)=0$ даёт $1=1+C$, то есть $C=0$. Ответ: $e^y=e^x$, а значит $y=x$.

Необычно: вместо семейства получилась одна прямая. Причина — нулевая константа: начальная точка легла ровно на особый след уравнения. Заметьте и другое: ответ $y=x$ легко проверить ($y^{\prime }=1$, правая часть $e^{x-x}=1$), а вот попытка вытащить «красивую» формулу через логарифм дала бы запись $y=\ln (e^x)$ — формально верную, но скрытную. Прямая форма честнее.

Кстати, о безопасности деления: в примере выше $g(y)=e^{-y}$ никогда не обращается в ноль, поэтому особых решений нет вовсе — делить можно по всей плоскости. Полезная привычка: бросили взгляд на $g$, убедились в её знаках — и делите смело.

Ещё короткий пример: $y' = 2x\sqrt{y}$, $y(0) = 1$

1. 1
   Делим на $\sqrt{y}$ (пока считаем $y>0$): $\frac{dy}{\sqrt{y}}=2xdx$
2. 2
   Интегрируем: $2\sqrt{y}=x^2+C$
3. 3
   Условие $y(0)=1$: $2=C$, то есть $\sqrt{y}=\frac{x^2+2}{2}$
4. 4
   Ответ: $y={\left(\frac{x^2}{2}+1\right)}^2$. Проверка: $y^{\prime }=2\left(\frac{x^2}{2}+1\right)\cdot x=2x\sqrt{y}$ — тождество

И снова потерянное решение: деление на $\sqrt{y}$ выбросило $y\equiv 0$, которое уравнению тоже удовлетворяет. В задаче Коши оно пригодилось бы, будь условие $y(0)=0$: через ноль проходит и константа-ноль, и ветви семейства — единственность нарушается ровно там, где деление было незаконным. Считайте это визитной карточкой нелинейных уравнений: где делишь — там и проверяй.

Обратите внимание на таблицу выше: в задачниках эти интегралы почти никогда не написаны явно — их нужно распознать внутри разделения переменных. Увидели в знаменателе $1+y^2$ — ждите арктангенс; увидели $y^2$ — готовьте дробь $-1/y$. Распознавание работает быстрее полной таблицы интегралов и экономит драгоценные минуты контрольной.

Осторожный читатель уже заметил: почти любая задача на разделяющиеся переменные заканчивается интегралом вида $\int \frac{dy}{y}$, $\int e^{x}dx$ или $\int x^{n}dx$. Это хороший повод потренировать интегральную технику на тренажёре интегралов — 15 минут в день, и шаг «проинтегрируем обе части» перестаёт пугать. Дальше по курсу: линейные уравнения и Бернулли — там интегрирование уже не спасает, и понадобится замена.