Метод Рунге–Кутты 4 и метод Эйлера: что точнее и когда хватает Эйлера

Лабораторная по дифференциальным уравнениям. Сосед сдал программу на методе Эйлера, вы написали РК4, а графики у обоих неотличимы от точной кривой. Преподаватель смотрит на ваш код и спрашивает: «Зачем четыре вычисления функции на шаг, если хватает одного?» Вопрос не занудство — за ним стоит вся арифметика численных методов: где именно расходуется точность и что покупается за лишние три вычисления.

Разберём оба метода на задаче, где точный ответ известен наперёд: $y^{\prime }=y$, $y(0)=1$, решение $y=e^x$. Пройдём отрезок от 0 до 1 шагами 0,1 и 0,05 и сравним с $e\approx 2,718282$. Урок с основами шагового счёта — метод Эйлера, теория ошибок — в курсе численного решения ОДУ.

Что происходит за один шаг: одна касательная против четырёх проб?#

Эйлер поступает прямолинейно. В начале шага известны точка $(x_n,y_n)$ и наклон $f(x_n,y_n)$ — и по этой касательной делается весь шаг:

Проблема в доверии: наклон в начале шага не обязан совпадать с наклоном в середине или в конце. На выпуклой кривой касательная всё время уходит под график, и ошибка накапливается шаг за шагом. РК4 решает это разведкой: внутри шага делаются четыре пробных вычисления наклона —

Смысл взвешивания: метод «примеряется» внутри шага вместо того, чтобы верить одной точке. Полушаг с прогнозом, ещё один уточнённый наклон в середине, проба в конце — и усреднение. Это та же логика, по которой Симпсон интегрирует параболой, а не хордой; только здесь парабола строится на лету по четырём значениям поля направлений.

O(h) против O(h⁴): что эти степени дают на практике?#

Сначала разделить два понятия. Локальная ошибка — враньё одного шага; у Эйлера она $O(h^2)$: касательная отбрасывает все члены ряда Тейлора после первого. Глобальная ошибка — накопленное вранье за $N=(b-a)/h$ шагов; она на один порядок ниже, $O(h)$. У РК4 аналогично: за шаг $O(h^5)$, за отрезок $O(h^4)$. Подробная таксономия погрешностей — в уроке источники погрешностей.

Практическое следствие одного абзаца. Уменьшили шаг вдвое: Эйлер станет точнее примерно вдвое, РК4 — примерно в $2^4=16$ раз. Ниже в числовом эксперименте это видно буквально: ошибки ведут себя как по расписанию.

Честная проверка по бюджету. РК4 тратит четыре вычисления $f$ на шаг, Эйлер — одно. Сравним при равном числе вычислений: Эйлер с шагом $h/4$ против РК4 с шагом $h$. На гладких задачах РК4 всё равно впереди на порядки — пробы стоят денег, но покупают порядок. Граница снизу тоже существует: при слишком мелком шаге ошибки округления перестают убывать и начинают расти, поэтому «ещё мельче» не стратегия.

Числовой эксперимент: y′ = y, шаги 0,1 и 0,05#

Точное решение — $y=e^x$, на правом конце $e=2,718282$. Эйлер с шагом 0,1 за шаг умножает $y$ на $(1+h)$, то есть на 1,1; за десять шагов накапливается $1,1^{10}$:

Первые шаги показывают механизм: $1\to 1,1\to 1,21$ против точных $e^{0,1}=1,105171$ и $e^{0,2}=1,221403$. Каждый шаг отстаёт чуть больше предыдущего — враньё накапливается.

Теперь первый шаг РК4 при $h=0,1$ руками. Здесь $f(x,y)=y$, поэтому пробы считаются в уме: $k_1=1$; $k_2=1+0,05\cdot 1=1,05$; $k_3=1+0,05\cdot 1,05=1,0525$; $k_4=1+0,1\cdot 1,0525=1,10525$. Сборка:

Причина прозрачна: для $y^{\prime }=y$ каждый шаг РК4 умножает $y$ на $1+h+h^2/2+h^3/6+h^4/24$ —

Полная таблица на правом конце — и проверка порядков:

Числа подтверждают теорию до мелочей: 0,1245 против 0,0650 — множитель 1,92 вместо идеальных 2 (накинута константа высших порядков), 15,3 вместо 16. На промежуточной точке $x=0,5$ расклад тот же: Эйлер даёт 1,610510 против точного 1,648721, РК4 — 1,648721, совпадение до шестого знака.

Когда хватает Эйлера, а когда без РК4 не обойтись?#

Эйлера достаточно в трёх ситуациях. Первая — обучение: только на нём руками видна механика шагового интегрирования, поле направлений и изоклины, поведение решения на фазовой плоскости. Вторая — грубые прикидки: когда решение смотрят глазами, а шаг и так берут мелким, четырёхкратная цена РК4 не окупается. Третья — строительный блок: Эйлер сидит внутри предиктор-корректорных схем как этап прогноза, и в этом качестве везде.

РК4 нужен там, где по цифрам принимают решения. Численный эксперимент с отчётными графиками: ошибка первого порядка на длинном отрезке способна исказить вывод целиком. Дорогая правая часть: если одно вычисление $f$ стоит секунд, выгоднее взять метод, который при том же бюджете вычислений даёт больше точности. Сравнение с точным решением, проверка теории устойчивости, моделирование — везде порядок четыре окупается. Живой разбор постановок — в разборе задач по дифурам.

Оговорка, которую любят терять: на жёстких задачах бессильны оба. Если решение содержит процессы сильно разных скоростей, явные методы — и Эйлер, и РК4 — вынуждены брать шаг по самому быстрому процессу ради устойчивости, даже когда тот давно затух. Выход — неявные схемы, где шаг ограничен точностью, а не устойчивостью; это уже следующая глава теории. Мостик к ней — урок устойчивость решений.

Что сложнее и что учить сначала?#

Освоить Эйлера — вечер: три строки кода и одна картинка с касательной. РК4 требует аккуратности в индексах — каждый $k$ использует предыдущий, — но реализуется один раз по шаблону и дальше живёт в библиотеке. Настоящая ловушка другая: РК4 легко скопировать как «чёрный ящик» и не понимать, откуда берётся ошибка и почему метод внезапно ломается на негладкой правой части. Поэтому порядок изучения не обсуждается: сначала Эйлер, потом РК4.

1. 1
   Шаг 1: посчитать y′ = y методом Эйлера вручную три шага с h = 0,1 и сверить с e^0,1, e^0,2, e^0,3 — увидеть накопление занижения.
2. 2
   Шаг 2: выписать, откуда берётся O(h²) — ряд Тейлора и выброшенные слагаемые; без этого РК4 останется магией.
3. 3
   Шаг 3: реализовать РК4 по шаблону k1–k4 и прогнать ту же задачу: y(1) при h = 0,1 должно выйти 2,718280 — это готовый тест вашей программы.
4. 4
   Шаг 4: сравнить оба метода на графике при грубом шаге h = 0,5 — Эйлер заметно врёт, РК4 держится; так глазами видна цена порядка.
5. 5
   Шаг 5: уменьшить шаг вдвое и сверить с таблицей выше: ошибки должны упасть в 2 раза у Эйлера и в ~16 раз у РК4.
6. 6
   Дальше: жёсткие задачи и неявные схемы — следующий виток, где оба явных метода одинаково беспомощны.

Дальше по теме: шаговые методы с нуля — урок метод Эйлера, постановка задач — дифференциальные уравнения первого порядка; теория погрешностей и жёсткость — численное решение ОДУ и источники погрешностей. Формулы для повторения собраны в шпаргалке по дифурам.