Числовой ряд или несобственный интеграл: разница и проверка

Практикум по матанализу, вторая половина семестра. В списке задач подряд идут два пункта: исследовать сходимость ряда $\sum 1/n^2$ и вычислить ${\int }_1^{\infty }dx/x^2$. Оба пункта дают один вердикт — «сходится», и это не совпадение, а самый надёжный мост курса. Ряд складывает дискретные слагаемые по натуральному номеру, интеграл копит непрерывную площадь по всей оси — а на бесконечности их судьбу решает одна и та же скорость убывания. Кто увидел мост, перестаёт заучивать признаки сходимости поодиночке.

Ниже — карта этой территории: две эталонные пары с честными вычислениями, формулировка интегрального признака, таблица соответствий «ряд ↔ интеграл», места, где аналогия ломается, и практические оценки остатка. Теория рядов — в уроке числовые ряды, несобственные интегралы первого рода — в уроке несобственные интегралы; базовые слова — термины ряд и интеграл.

Две эталонные пары: честные вычисления#

Начнём с пары из домашнего задания. Интеграл считается в одну строку и равен единице — первый нестандартный факт курса: бесконечная область может иметь конечную площадь.

Ряд из тех же «членов» сходится к сумме Базеля π²/6 ≈ 1,644934. Числа разные — судьба общая. Причём расклад зажат с двух сторон: сумма без первого слагаемого равна 0,644934, интеграл равен 1, полный ряд 1,644934 —

Теперь гармоническая пара. Интеграл от 1/x с верхним пределом A равен ln A — предела нет, площадь уходит в бесконечность. Ряд Σ 1/n расходится по той же причине и растёт синхронно: H₁₀ = 2,928968 против ln 10 = 2,302585, H₁₀₀ = 5,187378 против ln 100 = 4,605170. Разница между ними почти не меняется:

Именно на таких числах строится главный инструмент. Имя его в конспектах гуляет — «интегральный признак Коши», «признак Коши–Маклорена», — суть одна.

Мост: интегральный признак Коши–Маклорена#

Условия — не формальность. Положительность гарантирует, что частичные суммы растут монотонно: либо у них есть предел, либо нет третьего варианта. Убывание связывает ступеньки с площадью:

Просуммируйте неравенство по всем k и устремите границу в бесконечность: ряд и интеграл отличаются на конечную константу, значит сходятся только вместе. Отсюда одной строкой выводится вся p-шкала —

Крайний случай полезен для интуиции: p-ряд с p = 1,01 сходится, но его интеграл — целая сотня. Чуть сдвинь p вниз — и всё рухнет. Чем ближе к границе, тем медленнее сходимость: «сходится» не значит «быстро».

Медлительность у границы имеет оборотную сторону в оценках точности. Линейка универсальна: для ряда Σ 1/n^(3/2) интегральная граница даёт R_N ≤ 2/√N — и ради третьего знака после запятой понадобится свыше четырёх миллионов слагаемых. У ряда 1/n² та же цель достигалась тысячей: расстояние до границы p = 1 напрямую определяет цену точности.

Параллель дотягивается и до признака сравнения. Если при больших x выполнено 0 ≤ f(x) ≤ g(x), то из сходимости ∫ g dx следует сходимость ∫ f dx — точный двойник сравнения рядов через мажоранту. Таблица из начала статьи — не риторика, а рабочая схема перевода с языка рядов на язык интегралов и обратно.

Где аналогия ломается#

Первые ворота — монотонность, и это несущая стена, а не украшение. Постройте шипы: в каждой целой точке n стоит пик высоты 1 и ширины 2^(−n), между пиками функция нулевая. Значения в узлах единичные, поэтому сумма по узлам бесконечна. А общая площадь всех пиков равна Σ 2^(−n) = 1. Интеграл конечен, ряд расходится: монотонности нет — моста нет.

Вторые ворота — осцилляции. Ряд Σ sin(n)/n сходится по признаку Дирихле, и сумма известна точно: (π − 1)/2 ≈ 1,0708, частичные суммы подкрадываются к ней с двух сторон. А «соответствующий» интеграл ведёт себя иначе:

Мораль: интегральный признак — инструмент для положительных убывающих членов, и только. Колеблющиеся ряды живут по правилам Дирихле и Абеля, а их интегральные двойники проверяются отдельными признаками для интегралов. Забавная деталь: для sin x/x два мира снова соглашаются — и ряд, и интеграл сходятся, но условно, а с модулями у обоих беда: частичные суммы Σ |sin n|/n к стотысячному члену добираются до 7,9 и растут как логарифм. Такие ряды — родня рядам Фурье, у них своя теория; отправная точка — термин ряд Фурье.

Остаток ряда и хвост интеграла: оценка ошибки#

Практический подарок моста — оценка остатка без вычисления суммы. Для положительной убывающей функции хвост ряда зажат двумя интегралами:

Для ряда Σ 1/n² линейка работает буквально. Чтобы остаток стал меньше 0,001, хватает N = 1000 — и честный хвост R₁₀₀₀ = 0,0009995 аккуратно ложится между границами. Полная картина:

Тысяча слагаемых ради третьего знака — цена p-ряда возле границы. Если она не по карману, оценка хотя бы говорит заранее, сколько придётся платить, — и подталкивает к ускорению сходимости. Два попутных правила: у знакочередующихся рядов остаток не превосходит первого отброшенного слагаемого — без всяких интегралов; а когда интеграл от члена считается мучительно, проверьте предел отношения соседних членов — выручит признак Даламбера.

Что проверять и в каком порядке?#

Скелет один для обеих сторон моста. Сначала необходимое условие: члены стремятся к нулю (подробности о пределах последовательностей — в уроке предел последовательности); не стремятся — расходится, точка. Затем опознание эталона: геометрический ряд или p-ряд дают ответ сразу. Дальше развилка: положительные убывающие члены — интегральный признак; сравнение с эталоном — признак сравнения; осцилляции — Дирихле и Абель. Для несобственного интеграла те же ступени: определение через предел первообразной (база — определённый интеграл), эталонная p-шкала, сравнение функций.

1. 1
   Шаг 1: проверить aₙ → 0. Не стремятся — ряд расходится; интегральный аналог: f не стремится к нулю — интеграл расходится.
2. 2
   Шаг 2: опознать эталон — геометрический ряд или p-ряд. Эталоны закрывают большинство контрольных, а p-шкала одна для ряда и интеграла: p > 1.
3. 3
   Шаг 3: члены положительны — свести ряд к функции f(x) и проверить убывание производной; монотонность есть — интегральный признак.
4. 4
   Шаг 4: монотонности нет — не давить мостом: осцилляции ведут к Дирихле и Абелю, рваные члены — к сравнению с подходящей мажорантой.
5. 5
   Шаг 5: нужна точность — зажать хвост интегралами и выбрать N из неравенства 1/(N+1) ≤ R_N ≤ 1/N.

Дальше по теме: теория — числовые ряды и несобственные интегралы; практика — тренажёр рядов, разбор задач по рядам, задачи по рядам и шпаргалка по рядам. Смежные сюжеты: степенные ряды, ряды Фурье и пара Риман или Лебег — другой мост через интеграл.