Несобственные интегралы: сходимость, признаки, примеры

Вот парадокс, с которого начинается тема. Возьмём кривую $y=\frac{1}{x^2}$ и спросим: какова площадь под ней над лучом от единицы до бесконечности? Луч бесконечен, кривая нигде не кончается — и всё же площадь равна ровно единице. Не «примерно», не «почти»: ${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x^2}=1$. Бесконечная фигура с конечной площадью — не фокус, а рабочий инструмент физики и статистики. Разберёмся, как это считается и когда подобные ответы вообще существуют.

Интеграл первого рода: бесконечный предел#

Определённый интеграл из формулы Ньютона-Лейбница определён на конечном отрезке. Чтобы говорить о луче, обрезаем его на конечной точке $A$, считаем обычный интеграл — и устремляем $A$ в бесконечность. Несобственный интеграл первого рода — это предел таких обрезков.

Порядок действий жёсткий: сначала первообразная и подстановка с конечным $A$, и только затем предел. Перестановка этих шагов — источник ошибок, ведь подставлять бесконечность в формулу нельзя: $\infty$ — не число.

Теперь соседняя кривая: ${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x}={\lim }_{A\to \infty }\ln A=+\infty$ — интеграл расходится. Сравните кривые: $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{x^2}$ различаются совсем немного, а судьба площадей противоположна. Между ними проходит граница — p-интеграл:

Интеграл второго рода: разрыв на промежутке#

Вторая беда — функция, улетевшая в бесконечность внутри отрезка. Классика: ${\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}$ — в нуле подынтегральная функция разрывна. Лечим так же: отрезаем опасную точку малым $\epsilon$, считаем, устремляем $\epsilon \to 0^{+}$: ${\int }_{\epsilon }^1{x}^{-1/2}dx=2\sqrt{x}{|}_{\epsilon }^1=2-2\sqrt{\epsilon }\to 2$. Интеграл сходится, равен $2$. А его сосед ${\int }_0^1\frac{dx}{x}$ расходится: $\ln 1-\ln \epsilon \to +\infty$.

Почему у нуля граница другая — $p<1$? Подынтегральная функция $x^{-p}$ должна успеть «накопить» конечную площадь, пока $x$ пробегает от $\epsilon$ до $1$. Площадь вблизи нуля ведёт себя как ${\epsilon }^{1-p}$: при $p<1$ показатель положителен и площадь уходит в ноль вместе с $\epsilon$, при $p\ge 1$ — уносится в бесконечность.

Признаки сравнения#

Чаще всего первообразную под несобственным интегралом найти нельзя — но и не нужно. Вопрос «сходится или нет» решается сравнением с эталоном. Признак сравнения: если $0\le f(x)\le g(x)$ и $\int g$ сходится, то сходится и $\int f$. И симметрично: если $f$ не меньше расходящейся $g$ — расходится. Предельный вариант: если $f(x)\sim g(x)$ при стремлении к опасной точке, интегралы живут одной жизнью.

• ${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x^3+x}$ — знаменатель больше $x^3$, дробь меньше $\frac{1}{x^3}$, эталон сходится ($p=3>1$): интеграл сходится
• ${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x^2+\sqrt{x}}$ — дробь не больше $\frac{1}{x^2}$, сходится
• ${\int }_2^{\infty }\frac{dx}{\ln x}$ — при $x\ge 2$ имеем $\ln x<x$, значит $\frac{1}{\ln x}>\frac{1}{x}$, а эталон $\frac{1}{x}$ расходится: интеграл расходится
• ${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{\sqrt{x^2+4}}$ — при больших $x$ дробь эквивалентна $\frac{1}{x}$: расходится, несмотря на солидный знаменатель

Третий и четвёртый пункты — злая шутка задачников: выглядят почти как сходящиеся, а расходятся. Корень в знаменателе снижает степень на полступеньки: $\sqrt{x^2+4}$ на бесконечности ведёт себя как $x$, а $p=1$ — расходимость. Смотрите на старшие члены, а не на мелочь в скобках.

Где всё это живёт#

Несобственные интегралы — не гимнастика ради гимнастики. Гамма-функция $\Gamma (s)={\int }_0^{\infty }{t}^{s-1}{e}^{-t}dt$, через которую считаются факториалы, определена именно как несобственный интеграл. В теории вероятностей плотность нормального распределения обязана интегрироваться в единицу по всей прямой — проверка нормировки и есть несобственный интеграл (см. термин нормальное распределение). А интегральный признак сходимости связывает ${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x^p}$ с рядом $\sum \frac{1}{n^p}$: интеграл и ряд расходятся и сходятся одновременно — эта мостика хватит, чтобы полюбить p-интегралы заранее, во втором семестре.

Порядок работы с любой задачей темы: найти опасные места (бесконечные пределы, разрывы), разрезать промежуток на куски с одной опасностью в каждом, на каждом куске — предел обрезков. Сходимость всех кусков означает сходимость всего интеграла; достаточно одной расходимости, и интеграл расходится целиком.

Мостик дальше: несобственные интегралы завершают раздел об интегралах — дальше курс переходит к функциям нескольких переменных и рядам, и там техника сравнения будет работать почти дословно. Повторить базу можно в уроках об определённом интеграле и приложениях интеграла; определение предела — фундамент всей темы — лежит в словаре. Задачи на сходимость — в тренажёре интегралов, шпаргалка формул — тут.

Ещё один прогон: медленная сходимость#

Считаем ${\int }_1^{\infty }{x}^{-3/2}dx$. Степень $p=\frac{3}{2}>1$ — эталон обещает сходимость, но с каким числом? Обрезок: ${\int }_1^A{x}^{-3/2}dx={\left[-2x^{-1/2}\right]}_1^A=2-\frac{2}{\sqrt{A}}$. Предел при $A\to \infty$ равен $2$. Любопытно, как лениво обрезок подбирается к ответу: при $A=100$ выходит $2-0.2=1.8$, при $A=10^4$ уже $2-0.02=1.98$, а до точной двойки нужно добраться только в пределе. Поэтому «на глаз по графику» тему не решить: хвост кривой долго жмётся к оси, но каждый его кусок вносит вклад. Правило то же, что и во всей теме: сначала честный обрезок, потом предел, и только затем выводы.

1. перечисли опасные места: бесконечные пределы и точки разрыва внутри промежутка
2. режь промежуток так, чтобы на каждом куске осталась ровно одна беда
3. на каждом куске — обрезок, затем предел; первообразные — в шпаргалке
4. сравнивай с эталоном $x^{-p}$ по старшим степеням, а не по мелочи в скобках
5. одна расходящаяся часть тянет вниз весь интеграл целиком

И немного перспективы прикладного толка. На экзамене вопрос «сходится или расходится» чаще ценнее вопроса «чему равен»: сравнение со степенным эталоном занимает минуту и не требует первообразной, которой может вовсе не быть. Поэтому порядок из списка выше — не формальность, а экономия: осмотр опасных точек и одна прикидка по старшим степеням нередко закрывают задачу целиком. А уж если интеграл сошёлся и первообразная нашлась — формула Ньютона-Лейбница выдаст число без всяких сюрпризов. Три действия, никакой магии, зато ни один хвост кривой не утащит ваш ответ в бесконечность.