Приложения определённого интеграла: площади, объёмы, путь

Смысл определённого интеграла — накопление малых вкладов. Каждый кусочек ширины $dx$ приносит высоту $f(x)$; интеграл всё это складывает. Отсюда одна формула и десятки профессий у неё: площадь под графиком, объём вращения, пройденный путь, работа силы, даже среднее значение функции. Этот урок — о том, как узнавать одну и ту же идею в разных задачах и не путать формулы между собой.

Площадь криволинейной трапеции#

Фигура, ограниченная графиком $f(x)$, осью $Ox$ и двумя вертикалями $x=a$, $x=b$, называется криволинейной трапецией. Если $f$ непрерывна и неотрицательна, её площадь равна ${\int }_a^{b}f(x)dx$. Возьмём $f(x)=x^2$ на отрезке $[0,3]$: площадь равна ${\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^3=9$ квадратных единиц. Проверка на глаз: вписанный прямоугольник $3\times 3$ имеет площадь 9, и фигура заметно меньше его — всё сходится.

Если график заходит под ось, интеграл даст площадь со знаком. Геометрическая площадь всей фигуры — интеграл от модуля: $S={\int }_a^b|f(x)|dx$. Практический приём: разбить отрезок точками пересечения с осью и на каждом куске интегрировать функцию либо с плюсом, либо с минусом.

Площадь между двумя кривыми

Когда фигура зажата двумя графиками, из верхнего вычитаем нижний: $S={\int }_a^b(f(x)-g(x))dx$, где $f$ — тот, что выше. Разность площадей под каждым графиком даёт площадь полоски между ними. Классический пример: парабола $y=x^2$ и прямая $y=2x$. Найдите глазами их серп на графике — и давайте посчитаем.

1. 1
   Ищем пределы интегрирования: $2x=x^2$, то есть $x(2-x)=0$, откуда $x=0$ и $x=2$
2. 2
   Определяем, кто выше: при $x=1$ прямая даёт $2$, парабола — $1$, значит прямая сверху
3. 3
   Записываем разность: $S={\int }_0^2(2x-x^2)dx$
4. 4
   Первообразная: $x^2-\frac{x^3}{3}$
5. 5
   Подстановка: $\left(4-\frac{8}{3}\right)-0=\frac{4}{3}\approx 1.33$ — площадь серпа

Объём тела вращения#

Пусть график $f(x)$ вращается вокруг оси $Ox$. Каждое сечение тела плоскостью в точке $x$ — круг радиуса $f(x)$, площадь $\pi f^2(x)$. Суммируем площади кругов по отрезку — получаем объём:

Проверим формулу на школьном герое — шаре. Верхняя полуокружность $y=\sqrt{R^2-x^2}$ на $[-R,R]$: $V=\pi {\int }_{-R}^R(R^2-x^2)dx=\pi \left(2R^3-\frac{2R^3}{3}\right)=\frac{4\pi R^3}{3}$. Школьная формула объёма шара выведена одной строчкой. Для $R=2$ это $\frac{32\pi }{3}\approx 33.5$.

Криволинейная трапеция — не единственная фигура, которую умеет мерить интеграл. Когда кривая задана в полярных координатах уравнением $r=r(\theta )$, сектор между лучами $\theta =\alpha$ и $\theta =\beta$ режется на тонкие секторы угла $d\theta$: каждый — почти треугольник площади $\frac{1}{2}{r}^2(\theta )d\theta$, и сумма вкладов даёт $S=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^2(\theta )d\theta$. Обратите внимание на квадрат радиуса — то же наследство от площади круга, что и в методе дисков: вклад сектора растёт не как $r$, а как $r^2$.

Объём конуса из той же формулы: вращаем прямую $y=x$ на $[0,h]$. Получаем $V=\pi {\int }_0^h{x}^{2}dx=\frac{\pi h^3}{3}$ — знакомая треть от произведения площади основания на высоту. Одна формула метода дисков закрыла две школьные геометрии. Направление вращения вокруг $Oy$ меняет сечение на кольцо — там формула чуть длиннее, но идея накопления сечений та же.

Путь, работа и другие накопители#

Если скорость известна, путь — интеграл скорости по времени: $s={\int }_{t_1}^{t_2}v(t)dt$. Пусть $v(t)=3t^2$, считаем путь с $t=1$ до $t=3$: ${\int }_1^{3}3t^{2}dt={\left[t^3\right]}_1^3=27-1=26$ метров. Средняя скорость за это время — путь, поделённый на время: $\frac{26}{2}=13$ м/с. А вообще среднее значение функции считают интегралом: $\bar{f}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$ — так средняя высота криволинейной трапеции уравнивает её в прямоугольник.

Работа переменной силы — второй блин из того же теста. Сила пружины растёт с растяжением: $F=kx$. При жёсткости $k=200$ Н/м и растяжении до $0.1$ м работа равна $A={\int }_0^{0.1}200xdx=100x^2{|}_0^{0.1}=1$ джоуль. Постоянная сила умножалась бы напрямую, но здесь сила на каждом сантиметре своя — интеграл складывает вклады.

Задача, которую решает этот урок, — не запомнить формулы, а видеть в каждой из них один приём: нарезать объект на тонкие слои, посчитать вклад слоя и просуммировать. Слои бывают полосками площади, дисками объёма, секундами пути — приём один.

Разбор контрольной задачи от и до#

1. 1
   Профиль сосуда — кривая $y=\sqrt{x}$ на $[0,4]$; вращаем её вокруг оси $Ox$
2. 2
   Сечение в точке $x$ — круг радиуса $\sqrt{x}$, площадь $\pi x$
3. 3
   Интеграл: $V=\pi {\int }_0^{4}xdx=\pi \cdot \frac{x^2}{2}{|}_0^4=8\pi \approx 25.1$
4. 4
   Смысловая проверка: цилиндр радиуса $2$ и высоты $4$ имел бы объём $\pi \cdot 4\cdot 4=16\pi$ — сосуд стройнее цилиндра, $8\pi <16\pi$, вилка честная

Техническая база всего этого — формула Ньютона-Лейбница из урока об определённом интеграле; когда фигура тянется в бесконечность, понадобится техника несобственных интегралов. Таблица первообразных — в шпаргалке, термин интеграл разобран в словаре, а задачи на площади — в тренажёре интегралов.

Прогон со знаками: площадь между синусом и косинусом#

Найдём площадь фигуры между $y=\sin x$ и $y=\cos x$ на отрезке $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ — классика, где интеграл работает как накопитель площади со знаком. Кривые пересекаются при $\sin x=\cos x$, то есть в точке $x=\frac{\pi }{4}$; до неё выше косинус, после — синус. Проверьте в точке $x=0$: $\cos 0=1>0=\sin 0$ — косинус действительно ведёт. Фигура режется на два куска: $S={\int }_0^{\pi /4}(\cos x-\sin x)dx+{\int }_{\pi /4}^{\pi /2}(\sin x-\cos x)dx$. Считаем первый: первообразная $\sin x+\cos x$ на краях даёт $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-(0+1)=\sqrt{2}-1\approx 0.41$.

Второй кусок честно: ${\left[-\cos x-\sin x\right]}_{\pi /4}^{\pi /2}=(-1)-(-\sqrt{2})=\sqrt{2}-1$ — числа совпали, симметрия подтверждена. Итого площадь чуть меньше половины единичного квадрата, как и выглядит на графике. Тот же приём «нарежь, посчитай вклад, просуммируй» работает в объёмах и пути; а когда фигура задаётся условием сразу на две переменные, интеграл становится двойным — этому посвящён отдельный урок. Числа здесь некруглые — и пусть: вилка с $2\sqrt{2}\approx 2.83$ всё равно ловит и потерянный множитель, и перепутанный знак, ведь оба промаха выдают отрицательную «площадь».

1. нарисуй фигуру и найди все точки пересечения — они режут отрезок на куски
2. определи верхнюю и нижнюю функции подстановкой одной точки из каждого куска
3. объём вращения: сечение — круг, под интегралом квадрат радиуса с множителем $\pi$
4. путь — интеграл модуля скорости; перемещение — интеграл самой скорости
5. финальная вилка: сравни ответ с площадью или объёмом заведомо большей и заведомо меньшей фигуры — цилиндр и вписанный в него конус, например