Определённый интеграл и формула Ньютона–Лейбница

Скорость тела известна: $v(t)=6t-3$ м/с. Какой путь оно пройдёт за первые три секунды? Складывать бесконечно малые кусочки вручную — издевательство над временем. Формула Ньютона–Лейбница делает это одной строкой: найдите первообразную, подставьте пределы, вычтите. Получится $18$ метров — и никаких сумм с пределом.

Формула: площадь через первообразную#

Логика: определённый интеграл — приращение первообразной. Геометрически он равен площади между графиком $f$ и осью $x$, причём части ниже оси идут со знаком минус. Поэтому путь со скоростью $v=6t-3$ за три секунды вышел положительным: тело ехало вперёд. Смени скорость знак — и кусок пути вычелся бы.

Алгоритм: три шага#

1. 1
   Найдите первообразную $F$ подынтегральной функции — любым методом неопределённого интеграла.
2. 2
   Подставьте пределы: считается $F(b)-F(a)$; константа $C$ не нужна.
3. 3
   Проверьте условия: $f$ должна быть непрерывна на отрезке $[a;b]$ — иначе формула врёт.

Флагманский пример#

Считаем ${\int }_0^3(6t-3)dt$: первообразная $F(t)=3t^2-3t$. Подстановка: $F(3)=27-9=18$, $F(0)=0$. Ответ: $18$. Сверка с площадью: до $t=0,5$ скорость отрицательна, треугольник под осью имеет площадь $0,75$, трапеция над осью от $0,5$ до $3$ — площадь $18,75$; разность $18,75-0,75=18$.

Тот же алгоритм на тригонометрии: ${\int }_0^{\pi /2}\sin xdx=[-\cos x{]}_0^{\pi /2}=0-(-1)=1$. Запись с квадратными скобками и пределами — стандартное сокращение: «первообразная в верхнем пределе минус первообразная в нижнем».

Замена внутри определённого интеграла#

Подынтегральное выражение сложнее — используйте замену и пересчитайте пределы: ${\int }_0^{1}x{e}^{x^2}dx$. Замена $u=x^2$, $du=2xdx$; при $x=0$ выходит $u=0$, при $x=1$ — $u=1$. Интеграл становится $\frac{1}{2}{\int }_0^1{e}^{u}du=\frac{1}{2}(e-1)\approx 0,859$. Возврата к $x$ нет — ответ в новых пределах уже готов.

Ловушка: разрыв внутри отрезка#

Формула требует непрерывности. Пример-провал: ${\int }_{-1}^1\frac{dx}{x^2}$. Формально ${\left[-\frac{1}{x}\right]}_{-1}^1=-1-1=-2$ — площадь вдруг отрицательная, что абсурдно. Причина: в точке $x=0$ функция не ограничена. Настоящий вердикт — интеграл расходится; как такие случаи считаются честно, разобрано на странице несобственные интегралы.

Три типовые ошибки#

• Перепутать порядок вычитания: сначала $F(b)$, потом $F(a)$. Инвертированный порядок меняет знак ответа.
• Писать $+C$ в конце. В определённом интеграле константа сокращается сама; её присутствие выдаёт недопонимание метода.
• Применить формулу через разрыв — как в примере с $\frac{1}{x^2}$ выше. Перед подстановкой проверяйте непрерывность на всём отрезке.