Решатель · ИнтегралВсе методы решателяОбновлено 2026-10-05

Интегрирование иррациональных функций

Как интегрировать корни из линейных и квадратичных выражений: замена корня целиком, общий знаменатель степеней, тригонометрические подстановки, три примера с проверкой и типовые ошибки.

Пример, разобранный на этой странице

\int 1 - x^{2} d x

Ответ: $\frac{x}{2} 1 - x^{2} + \frac{1}{2} arcsin x + C$

Решить своё задание в решателе

Корень в подынтегральной функции — это запертая замена. Достаньте корень целиком в новую переменную, и пример обычно превращается либо в многочлен, либо в тригонометрию, либо в дробь. Ниже три стратегии: линейный корень, корни с разными показателями и корень из квадратичного выражения. Последняя — знаменитая тригонометрическая подстановка, после которой площадь круга считается вручную.

Линейный корень: замена целиком#

Под $a x + b$ и его степенями прячется линейная функция — заводим её в переменную целиком. Пример: $\int \frac{x}{x + 3} d x$ . Замена $t = x + 3$ даёт $x = t^{2} - 3$ и $d x = 2 t d t$ . Пример разворачивается: $\int \frac{( t ^{2} - 3 ) \cdot 2 t}{t} d t = 2 \int (t^{2} - 3) d t = \frac{2 t ^{3}}{3} - 6 t + C$ . Возврат: $\frac{2}{3} (x + 3)^{3/2} - 6 x + 3 + C$ . Дифференцирование восстанавливает $\frac{x}{x + 3}$ — проверка сходится.

Несколько корней: общий знаменатель степеней#

Когда в примере встречаются $x$ и $3 x$ одновременно, две замены не живут вместе. Берите $t = x^{1/6}$ — общий знаменатель показателей: тогда $x = t^{3}$ и $3 x = t^{2}$ . В $\int \frac{d x}{x + 3 x}$ с $d x = 6 t^{5} d t$ знаменатель становится $t^{2} (t + 1)$ , и пример сжимается до $6 \int \frac{t ^{3}}{t + 1} d t = 2 t^{3} - 3 t^{2} + 6 t - 6 ln (t + 1) + C$ , где $t = x^{1/6}$ .

Корень из квадратичного выражения: три подстановки#

Выражение под корнем	Подстановка	Что получается
$a^{2} - x^{2}$	$x = a sin t$	$a^{2} - x^{2} = a cos t$ , $d x = a cos t d t$
$a^{2} + x^{2}$	$x = a tan t$	$a^{2} + x^{2} = \frac{a}{c o s t}$
$x^{2} - a^{2}$	$x = \frac{a}{c o s t}$	$x^{2} - a^{2} = a tan t$

выбор по знаку: минус между слагаемыми — синус, плюс — тангенс, минус снаружи — секанс

Разбираем $\int 1 - x^{2} d x$ — площадь четверти единичного круга в интегральной записи. Подстановка $x = sin t$ , $d x = cos t d t$ : корень становится $cos t$ — на промежутке $∣ t ∣ \leq \frac{π}{2}$ косинус неотрицателен, модуль раскрывается со знаком плюс. Остаются чистые степени: $\int cos^{2} t d t = \frac{t}{2} + \frac{s i n 2 t}{4}$ .

Возврат: $sin t = x$ , значит $t = arcsin x$ и $sin 2 t = 2 sin t cos t = 2 x 1 - x^{2}$ . Собираем: $\frac{x}{2} 1 - x^{2} + \frac{1}{2} arcsin x + C$ . Тот же приём с $a^{2} - x^{2}$ даст множитель $a$ у корня и $\frac{a ^{2}}{2}$ у арксинуса — формулу можно запомнить или выводить на месте за минуту.

Тригонометрическая подстановка по шагам

Открывай шаги

Сначала попробуйте сделать шаг сами, потом открывайте и сверяйтесь. За полный проход начисляется XP.

Какая подстановка уберёт корень?

Знаю: 0/4

Кликните карточку, чтобы перевернуть. Отмечайте выученное — счётчик в шапке покажет прогресс.

1 / 4

\int \frac{d x}{x ^{2} + 9}

Три типовые ошибки#

Забыть дифференциал подстановки: после $x = a sin t$ обязан появиться $d x = a cos t d t$ , иначе под интегралом останется $x$ .
Оставить ответ в переменной $t$ : арксинус, тангенс и корни обязаны вернуться к $x$ через исходную подстановку.
Брать $x = a sin t$ для $x^{2} - a^{2}$ : минус сидит не там — нужен секанс, $x = \frac{a}{c o s t}$ .

Проверь себя+10 XP

Какая подстановка уберёт корень в $\int \frac{d x}{4 - x ^{2}}$ ?

Проверь себя+10 XP

Чему равен $\int \frac{d x}{x}$ ?

Частые вопросы

Когда брать замену корня, а когда тригонометрическую подстановку?

Смотрите, что под корнем. Линейное выражение $ax + b$ — обычная замена $t = \sqrt{ax + b}$, дифференциал выражается напрямую. Квадратичное выражение вида $a^2 \pm x^2$ или $x^2 - a^2$ — тригонометрическая подстановка из таблицы выше. Куски вроде $\sqrt{x^2 + 2x + 5}$ сначала доводятся полным квадратом до $\sqrt{(x + 1)^2 + 4}$, дальше — тангенс. База по подстановкам — в [уроке про метод замены и по частям](/course/matanaliz/metod-zameny-i-po-chastyam/).

Зачем ограничивать промежуток для t?

Чтобы корень раскрывался без модуля: при $x = a\sin t$ на $t \in \left[-\tfrac{\pi}{2}; \tfrac{\pi}{2}\right]$ косинус неотрицателен, и $\sqrt{a^2 - x^2}$ становится ровно $a\cos t$. Без ограничения пришлось бы таскать $|\cos t|$ и разбирать знаки отдельно. В определённых интегралах промежуток выбирается так же; механика подстановки пределов — на странице [формула Ньютона–Лейбница](/reshately/integral/nyuton-lejbnic/).

Куда возвращаться после тригонометрической подстановки?

К исходному $x$ через обратные функции: для $x = a\sin t$ выходит $t = \arcsin\tfrac{x}{a}$, а тригонометрические куски переписываются через прямоугольный треугольник — противолежащий катет $x$, гипотенуза $a$, второй катет $\sqrt{a^2 - x^2}$. Так $\cos t$ превращается в $\tfrac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}$. Табличные первообразные для возврата — в [шпаргалке таблицы интегралов](/shpargalki/tablica-integralov/).