Интеграл онлайн — решить с шагами

Q: Как ввести интеграл в решатель?

Подынтегральное выражение вводится целиком, знак интеграла писать не нужно: например, x^3+2x или e^(-2x). Степень — крышкой, корень — sqrt(x), дробь — наклонной чертой в скобках: 1/(x^2+1). Кнопки-чипсы с готовыми примерами показывают формат: нажмите пример, посмотрите запись и замените выражение своим.

Q: Почему в ответе всегда пишется константа C?

Первообразная определена с точностью до константы: если F(x) — первообразная, то и F(x)+5 тоже первообразная, ведь производная константы равна нулю. Поэтому неопределённый интеграл — это не одно число, а семейство функций, различающихся сдвигом по вертикали. В определённом интеграле константы сокращаются при вычитании значений, поэтому там ответ число.

Q: Решатель показывает, каким методом взят интеграл?

Да, метод указан в заголовке каждого шага: табличный интеграл, линейная подстановка, замена переменной или интегрирование по частям. Для суммы показывается разбиение по слагаемым. Если выражение не подходит ни под один шаблон, решатель честно сообщит об этом и подскажет, какие методы стоит попробовать, вместо выдуманного ответа.

Q: Как проверить найденную первообразную?

Дифференцированием: производная ответа должна совпасть с подынтегральной функцией. Для (x-1)*e^x производная равна e^x + (x-1)*e^x = x*e^x — значит, первообразная найдена верно. Эту проверку полезно делать и руками, и через решатель производных: это два независимых взгляда на одно вычисление.

Q: Чем неопределённый интеграл отличается от определённого?

Неопределённый интеграл — семейство первообразных с константой C, определённый — число, площадь под графиком на отрезке. Связывает их формула Ньютона-Лейбница: определённый интеграл равен разности значений первообразной на концах отрезка. Для x^2 на отрезке от нуля до единицы это 1/3 - 0 = 1/3.

Что решатель считает и зачем это нужно

Интегрирование — операция, обратная дифференцированию: найти первообразную значит ответить на вопрос, от какой функции образовалась данная её производной. Если производная отвечает «с какой скоростью меняется величина», то интеграл собирает величину обратно из скорости. Задачи, где это появляется: площадь под графиком, работа переменной силы, путь по известной скорости, объёмы тел вращения, средние значения функции.

Трудность в том, что если дифференцирование — конвейер механических правил, то интегрирование ближе к подбору: сначала нужно распознать тип выражения, и только потом применить метод. Решатель делает оба шага открыто: сначала называет распознанный тип, затем ведёт выкладку. Это полезнее готового ответа: вы видите, по какому признаку выбран метод, и научитесь выбирать его сами.

Проверка у интеграла всегда одна: продифференцировать ответ и сравнить с подынтегральной функцией. Решатель показывает эту проверку в последнем шаге — привычка проверять ответ дифференцированием стоит дороже самих формул.

Как решатель берёт интеграл: алгоритм по шагам

Последовательность распознавания типа — от самых простых случаев к более сложным. Тот же порядок стоит держать в голове на контрольной:

Разбиение суммы
Если выражение — сумма или разность слагаемых с числовыми множителями, интеграл распадается на сумму интегралов, а константы выносятся. Каждый кусок интегрируется отдельно, константа C ставится один раз в конце.
Проверка таблицы
Каждое слагаемое сравнивается с табличными формулами: степени, единица на икс, экспонента, синус, косинус, единица на единицу плюс икс квадрат. Совпадение — шаг делается сразу, без преобразований.
Линейная подстановка f(ax+b)
Если аргумент сдвинут или растянут линейно, табличная формула делится на коэффициент k: интеграл от e в степени kx плюс b даёт единицу на k раз экспонента. Множитель 1/k — самый частый источник ошибок, решатель показывает его отдельным шагом.
Замена переменной f(g)*g'
Если выражение — произведение функции и производной её внутреннего аргумента, работает замена u = g(x). Примеры: e^(x^2)*x, где u = x^2 и du = 2x dx. После замены интеграл становится табличным.
Интегрирование по частям
Для произведений вида x на экспоненту, x на синус и x на логарифм применяется формула по частям: интеграл u dv равен uv минус интеграл v du. Выбор u и v — отдельный шаг, который решатель показывает явно.
Упрощение и проверка
Результат приводится к компактному виду, ставится константа C. Финальная проверка — дифференцирование ответа: производная должна вернуть исходное подынтегральное выражение.

Таблица типовых случаев

Табличные формулы с линейным аргументом — база, на которую опираются остальные методы. Полный список — в шпаргалке интегралов, а обзор методов — в шпаргалке методов интегрирования.

Интеграл	Первообразная	Примечание
$\int x^{n} d x, n \neq = - 1$	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$	степень повышается на единицу и делится на новую степень
$\int \frac{d x}{x}$	$ln ∣ x ∣ + C$	исключение из степенной формулы; модуль обязателен
$\int e^{k x + b} d x$	$\frac{1}{k} e^{k x + b} + C$	множитель 1/k — поправка за линейную подстановку
$\int sin (k x + b) d x$	$- \frac{1}{k} cos (k x + b) + C$	минус от производной косинуса
$\int cos (k x + b) d x$	$\frac{1}{k} sin (k x + b) + C$	знак совпадает с производной синуса
$\int \frac{d x}{1 + x ^{2}}$	$arctan x + C$	обратная к производной арктангенса
$\int \frac{d x}{1 - x ^{2}}$	$arcsin x + C$	работает при \|x\|<1
$\int \frac{d x}{c o s ^{2} x}$	$tan x + C$	там, где косинус не обращается в ноль

Разобранные примеры

Пример 1. Линейность: $\int (x^{3} + 2 x) d x$

Сумма распадается на два интеграла, константа 2 выносится за знак интеграла. Оба слагаемых — табличные, степенная формула применяется напрямую:

\int (x^{3} + 2 x) d x = \frac{x ^{4}}{4} + 2 \cdot \frac{x ^{2}}{2} + C = \frac{x ^{4}}{4} + x^{2} + C

Проверка дифференцированием: производная от $\frac{x ^{4}}{4} + x^{2}$ равна $\frac{4 x ^{3}}{4} + 2 x = x^{3} + 2 x$ — исходное выражение вернулось. Константа C ставится один раз, в самом конце, а не после каждого слагаемого.

Пример 2. Линейная подстановка: $\int e^{- 2 x} d x$

Табличный интеграл от экспоненты, но аргумент равен $- 2 x$ — коэффициент $k = - 2$ . По правилу линейной подстановки появляется множитель $\frac{1}{k}$ :

\int e^{- 2 x} d x = \frac{1}{- 2} e^{- 2 x} + C = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C

Проверка: $(- \frac{1}{2} e^{- 2 x})^{'} = - \frac{1}{2} \cdot (- 2) e^{- 2 x} = e^{- 2 x}$ — совпадает. Минус в ответе рождается именно из деления на отрицательный коэффициент, а не из «минуса в показателе»: это разные вещи, и путать их нельзя.

Пример 3. По частям: $\int x ln x d x$

Произведение степени на логарифм — типовой случай для формулы по частям. Логарифм выбирается за $u$ (он не упрощается дифференцированием, зато исчезает при взятии производной): $u = ln x, d v = x d x$ , значит $d u = \frac{d x}{x}, v = \frac{x ^{2}}{2}$ :

\int x ln x d x = \frac{x ^{2}}{2} ln x - \int \frac{x ^{2}}{2} \cdot \frac{d x}{x} = \frac{x ^{2}}{2} ln x - \frac{x ^{2}}{4} + C

Проверка дифференцированием: $(\frac{x ^{2}}{2} ln x)^{'} = x ln x + \frac{x}{2}$ и $(- \frac{x ^{2}}{4})^{'} = - \frac{x}{2}$ ; слагаемые $\frac{x}{2}$ сокращаются, остаётся $x ln x$ . Бонус для определённого интеграла: $\int_{0}^{1} x ln x d x = 0 - \frac{1}{4} = - \frac{1}{4}$ — отрицательная площадь под графиком ниже оси.

Частые ошибки при интегрировании

Потерян множитель 1/k

Интеграл от sin(3x) равен минус одна треть косинуса, а не минус косинусу. Деление на коэффициент аргумента — обязательная поправка линейной подстановки.

Забыт модуль в логарифме

Интеграл от единицы на икс равен ln|x| + C. Без модуля ответ неверен на отрицательных икс, где логарифм не определён.

Степенная формула при n = −1

Для 1/x степенная формула не работает: деление на ноль. Именно поэтому в таблице есть отдельная строка с логарифмом.

Перепутан выбор u в интегрировании по частям

За u берут логарифм, обратные функции или многочлен, а за dv — то, что интегрируется само. Обратный выбор делает интеграл сложнее исходного.

Не проверен ответ дифференцированием

Десять секунд проверки спасают от сданного неверного ответа. Производная первообразной обязана совпасть с подынтегральной функцией.

Проверьте себя и что читать дальше

Теория с выводом формул — в уроках неопределённый интеграл и определённый интеграл; техника замен и по частям разобрана в уроке метод замены и по частям. Где интеграл приносит числа — площадь, объём, длина дуги — показано в разделе приложения интеграла.

Стратегия выбора метода с разбором типовых выражений — в материале как решать интегралы. Практика с мгновенной проверкой ответа — в тренажёре интегралов, а более продвинутые случаи (по частям и рациональные дроби) — в тренажёре интегралов-2. Соседние инструменты: решатель производных для проверки первообразной дифференцированием, решатель пределов для несобственных случаев и решатель рядов для разложений. Обзор всех решателей — на странице решателей.

Как решать интегралы Тренажёр интегралов Таблица интегралов

Перед нажатием кнопки назовите вслух предполагаемый метод: «сумма, распадается на табличные» или «икс на экспоненту, значит по частям». Совпало — метод ваш; не совпало — читайте шаг распознавания в решателе внимательно, там и есть пробел.

Частые вопросы

Как ввести интеграл в решатель?

Подынтегральное выражение вводится целиком, знак интеграла писать не нужно: например, x^3+2x или e^(-2x). Степень — крышкой, корень — sqrt(x), дробь — наклонной чертой в скобках: 1/(x^2+1). Кнопки-чипсы с готовыми примерами показывают формат: нажмите пример, посмотрите запись и замените выражение своим.

Почему в ответе всегда пишется константа C?

Первообразная определена с точностью до константы: если F(x) — первообразная, то и F(x)+5 тоже первообразная, ведь производная константы равна нулю. Поэтому неопределённый интеграл — это не одно число, а семейство функций, различающихся сдвигом по вертикали. В определённом интеграле константы сокращаются при вычитании значений, поэтому там ответ число.

Решатель показывает, каким методом взят интеграл?

Да, метод указан в заголовке каждого шага: табличный интеграл, линейная подстановка, замена переменной или интегрирование по частям. Для суммы показывается разбиение по слагаемым. Если выражение не подходит ни под один шаблон, решатель честно сообщит об этом и подскажет, какие методы стоит попробовать, вместо выдуманного ответа.

Как проверить найденную первообразную?

Дифференцированием: производная ответа должна совпасть с подынтегральной функцией. Для (x-1)*e^x производная равна e^x + (x-1)*e^x = x*e^x — значит, первообразная найдена верно. Эту проверку полезно делать и руками, и через решатель производных: это два независимых взгляда на одно вычисление.

Чем неопределённый интеграл отличается от определённого?

Неопределённый интеграл — семейство первообразных с константой C, определённый — число, площадь под графиком на отрезке. Связывает их формула Ньютона-Лейбница: определённый интеграл равен разности значений первообразной на концах отрезка. Для x^2 на отрезке от нуля до единицы это 1/3 - 0 = 1/3.

Интеграл: пошаговое решение

Что решатель считает и зачем это нужно

Как решатель берёт интеграл: алгоритм по шагам

Разбиение суммы

Проверка таблицы

Линейная подстановка f(ax+b)

Замена переменной f(g)*g'

Интегрирование по частям

Упрощение и проверка