Производная онлайн — пошаговое решение

Что решатель считает и зачем это нужно

Производная измеряет скорость изменения функции: насколько быстро значение f(x) откликается на малый сдвиг аргумента. Геометрически это наклон касательной к графику, физически — мгновенная скорость. Одно понятие-инструмент стоит за целым классом задач: касательная и нормаль к кривой, промежутки возрастания и убывания, точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение, задачи оптимизации, скорость и ускорение в физике.

Во всех этих задачах механика одна: дифференцировать по правилам, аккуратно, шаг за шагом. Ошибка в одном знаке ломает всё продолжение — и вывод о точке минимума, и знак скорости. Решатель снимает этот риск: он применяет правила строго по порядку и показывает каждый шаг, поэтому годится и для счёта, и для сверки собственного решения.

Как решатель дифференцирует: алгоритм по шагам

Дифференцирование — процесс с чёткой логикой спуска от внешней операции к внутренней. Решатель повторяет ровно тот порядок, которому учат на лекции:

Разбор выражения в дерево
Выражение превращается в дерево операций: какая операция внешняя (сумма, произведение, дробь, функция), а какие — её аргументы. Для x^2*sin(x) внешняя операция — произведение двух сомножителей.
Выбор правила для внешней операции
Каждой операции соответствует своё правило: сумме — сумма производных, произведению — правило произведения, дроби — правило частного, вложенной функции — цепное правило. Название правила попадает в заголовок шага.
Спуск к внутренним функциям
Аргументы внешней операции дифференцируются по тем же правилам — рекурсия. Дерево разбирается, пока не останутся базовые куски: константы, степени, табличные функции.
Сборка результата
Куски собираются обратно: правило произведения даёт сумму u'v + uv', правило частного — дробь с разностью в числителе. Промежуточная сборка показывается отдельным шагом.
Упрощение
Числовые множители перемножаются, слагаемые вида ноль плюс функция и множители вида единица на икс убираются, степень x^1 превращается в x. Финальное выражение — то, что принято писать в ответе.

Таблица типовых случаев

Табличные производные решатель знает наизусть и применяет без промежуточных выкладок; правила комбинирования показываются развернуто. Полная таблица — в шпаргалке производных.

Функция	Производная	Примечание
$c — константа$	$0$	постоянная не меняется, скорость её изменения нулевая
$x^{n}$	$n x^{n - 1}$	степень падает вниз и уменьшается на единицу
$e^{x}$	$e^{x}$	единственная функция, равная своей производной
$a^{x}$	$a^{x} ln a$	для a>0; при a=e переходит в предыдущую строку
$ln x$	$\frac{1}{x}$	работает только при x>0
$sin x$	$cos x$	знака минус нет
$cos x$	$- sin x$	минус появляется именно здесь
$tan x$	$\frac{1}{c o s ^{2} x}$	определено там, где косинус не ноль
$x$	$\frac{1}{2 x}$	частный случай степенной формулы при n=1/2

Правила комбинирования: производная суммы равна сумме производных $(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}$ , для произведения $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , для частного $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ . Если функция вложена в другую, работает цепное правило: $[f (g (x))]^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ .

Разобранные примеры

Пример 1. Произведение: производная от $f (x) = x^{2} sin x$

Внешняя операция — произведение. Обозначим сомножители: $u = x^{2}$ , $v = sin x$ . Тогда $u^{'} = 2 x$ , $v^{'} = cos x$ . Правило произведения даёт:

f^{'} (x) = u^{'} v + u v^{'} = 2 x sin x + x^{2} cos x

Упрощать нечего — это и есть ответ. Классическая ошибка здесь: написать $2 x cos x$ и перемножить производные сомножителей. Правило произведения требует перекрёстных слагаемых: производная первого множителя на второй плюс первый множитель на производную второго.

Пример 2. Цепное правило: производная от $f (x) = ln (x^{2} + 1)$

Внешняя функция — логарифм, внутренняя — $g (x) = x^{2} + 1$ . Производная логарифма равна $\frac{1}{g ( x )}$ , производная внутренней — $g^{'} (x) = 2 x$ . Перемножаем:

f^{'} (x) = \frac{1}{x ^{2} + 1} \cdot 2 x = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}

Проверка в точке $x = 2$ : по формуле $f^{'} (2) = \frac{4}{5} = 0, 8$ . Численно: разностное отношение $\frac{f ( 2 , 001 ) - f ( 1 , 999 )}{0 , 002}$ даёт 0,800000 — совпадение до шестого знака. Забытый множитель $2 x$ — самая частая ошибка в этом типе.

Пример 3. Частное: производная от $f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x - 1}$

Числитель $u = x^{2} + 1$ с производной $u^{'} = 2 x$ , знаменатель $v = x - 1$ с производной $v^{'} = 1$ . Подставляем в правило частного:

f^{'} (x) = \frac{2 x ( x - 1 ) - ( x ^{2} + 1 ) \cdot 1}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{2 x ^{2} - 2 x - x ^{2} - 1}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} - 2 x - 1}{( x - 1 ) ^{2}}

Проверка в точке $x = 2$ : $f^{'} (2) = \frac{4 - 4 - 1}{1} = - 1$ . Численная оценка по соседним точкам даёт −1,000002 — совпадает с точным значением с поправкой на кривизну. Порядок слагаемых в числителе ( $u^{'} v - u v^{'}$ ) нельзя переворачивать: инверсия меняет знак всего ответа.

Частые ошибки при дифференцировании

Производная произведения как произведение производных

(uv)' не равно u'v'. Нужно правило произведения с перекрёстными слагаемыми. Решатель показывает оба слагаемых явно.

Потерянный множитель внутренней функции

В цепном правиле множитель g'(x) забывают чаще всего: производная ln(x^2+1) — не 1/(x^2+1), а 2x/(x^2+1).

Минус в производной косинуса

(cos x)' = −sin x, а не sin x. Знак проверяется подстановкой: при x=0 функция cos x убывает, значит производная отрицательна.

Перепутанный порядок в правиле частного

В числителе стоит u'v − uv'. Если поменять местами, знак ответа перевернётся, а точка экстремума сместится.

Отсутствие упрощения

Несокращённый ответ засчитывают не всегда: вынесите общий множитель, сократите дробь, приведите подобные. Последний шаг решателя делает это за вас — сравните с тем, что написали вы.

Проверьте себя и что читать дальше

Правила дифференцирования с доказательствами и оговорками разобраны в уроках определение производной, правила дифференцирования и производная сложной функции. Производные старших порядков — в уроке производные высших порядков.

Стратегия решения задач с примерами и разбором типовых выражений — в материале как решать производные. Отработать навык с проверкой каждого ввода можно в тренажёре производных. Производная — первый инструмент из связки: следующий шаг по программе, решатель интегралов, использует её результаты напрямую, а решатель пределов закрывает предельный переход, стоящий за самим определением. Обзор всех инструментов — на странице решателей.

Как решать производные Тренажёр производных Таблица производных

Рабочий цикл: попробуйте решить выражение сами, сверьте первый шаг с решателем, найдите место расхождения и только потом читайте готовую цепочку. Три таких цикла дают больше, чем час пассивного чтения.

Частые вопросы

Как записать функцию в поле решателя?

Степень пишется крышкой: x^2, sqrt(x) — корень, e^x или exp(x) — экспонента, ln(x), sin(x), cos(x) — со скобками. Умножение лучше ставить явно: x^2*sin(x). Дробь вводится наклонной чертой: (x^2+1)/(x-1). Готовые примеры на кнопках-чипсах показывают формат целиком — нажмите один и подставьте свою функцию по образцу.

Решатель показывает промежуточные шаги или только ответ?

Только ответа здесь нет намеренно: каждый шаг — отдельная карточка с названием правила и промежуточным выражением. Для дроби вы увидите правило частного и обе производные, для сложной функции — цепное правило с внутренним множителем. Финальный шаг — упрощение, где числа перемножены, а лишние множители-единицы убраны.

Решает ли решатель сложные функции вроде sin(x^2)?

Да, для этого работает цепное правило: решатель находит внешнюю функцию, дифференцирует её по внутренней, затем умножает на производную внутренней. Для sin(x^2) шаги такие: производная синуса — косинус от того же аргумента, косинус умножается на производную аргумента, то есть на два икс. Итог: 2*x*cos(x^2).

Как получить вторую производную?

Возьмите выражение первой производной и продифференцируйте его ещё раз тем же решателем. Для x^2*sin(x) первая производная равна 2*x*sin(x) + x^2*cos(x); подставьте это выражение в поле — получите вторую: 2*sin(x) + 4*x*cos(x) - x^2*sin(x). Приём работает и для третьей производной.

Где решателю доверять нельзя?

Решатель честен в арифметике, но не заменяет понимание условий задачи. Он берёт производную выражения, однако не проверит, что функция непрерывна на границах, не выберет ветви корня и не решит за вас, где ставить модуль в логарифме. Ответ сверяйте с условиями своей задачи, а сомнительные места — с учебником.

Производная: пошаговое решение

Что решатель считает и зачем это нужно

Как решатель дифференцирует: алгоритм по шагам

Разбор выражения в дерево

Выбор правила для внешней операции

Спуск к внутренним функциям

Сборка результата

Упрощение