Производная: определение, смысл и касательная

Спидометр показывает 60 км/ч — но ни одна секунда поездки не длилась ровно час. Что же измеряет прибор? Среднюю скорость за бесконечно малый промежуток времени. Математики назвали эту конструкцию производной, и с её помощью Ньютон описал движение планет, а сегодня работают навигаторы, экономические модели и нейросети. В этом уроке — строгая выжимка: определение, два смысла и первые вычисления.

От средней скорости к мгновенной#

Пусть тело прошло путь $s(t)$ — зависимость от времени. Средняя скорость на участке от $t$ до $t+\Delta t$ — это перемещение, делённое на время: $\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}$. Сжимаем промежуток: $\Delta t\to 0$. Отношение имеет предел — оно и называется мгновенной скоростью. Для произвольной функции $f$ та же конструкция даёт определение производной:

Читаем по символам. $\Delta x$ — приращение аргумента: небольшой сдвиг от точки $x_0$. Числитель $f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ — приращение значения функции: насколько функция отозвалась на сдвиг. Дробь — «отклик на единицу сдвига», скорость изменения. Предел при $\Delta x\to 0$ — скорость в самой точке, без усреднения по окрестности. Если предел существует и конечен, функция называется дифференцируемой в точке $x_0$.

Геометрический смысл: касательная#

Посмотрим на ту же дробь глазами геометра. Точки $(x_0,f(x_0))$ и $(x_0+\Delta x,f(x_0+\Delta x))$ на графике соединяет секущая; её наклон — это в точности разностное отношение. Сжимаем $\Delta x$: вторая точка едет по кривой к первой, секущая проворачивается и застывает в положении касательной. Значит:

Производная в точке равна тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс. Плюс рост — холм идёт вверх, минус — спуск, ноль — горизонтальная площадка. Из наклона сразу получается уравнение касательной — прямая с угловым коэффициентом $f^{\prime }(x_0)$, проходящая через точку касания:

Пример с числами: касательная к параболе $y=x^2$ в точке $x_0=1$. Значение $f(1)=1$, производная $f^{\prime }(x)=2x$, значит $f^{\prime }(1)=2$. Прямая: $y=1+2(x-1)=2x-1$. Проверьте в уме: в точке $x=1$ и кривая, и прямая дают единицу — касание состоялось. Перпендикулярная к ней прямая через ту же точку называется нормалью; её наклон — обратный с минусом: $-\frac{1}{2}$, уравнение $y=1-\frac{x-1}{2}$.

Считаем по определению#

Пока таблица производных не выучена, определение — единственный инструмент. Разберём $f(x)=x^2$:

1. 1
   Приращение: $f(x+\Delta x)-f(x)=(x+\Delta x{)}^2-x^2=2x\Delta x+(\Delta x{)}^2$
2. 2
   Делим: $\frac{2x\Delta x+(\Delta x{)}^2}{\Delta x}=2x+\Delta x$
3. 3
   Устремляем $\Delta x\to 0$: остаётся $2x$
4. 4
   Итог: $(x^2{)}^{\prime }=2x$ — и это совпало с наклоном касательной выше

Ещё один гость контрольных — корень. Для $f(x)=\sqrt{x}$ лобовое сокращение не работает: числитель $\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}$ на $\Delta x$ не делится. Выручает приём из школьной алгебры — домножение на сопряжённое выражение:

1. 1
   По определению: ${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x}$
2. 2
   Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое $\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}$ — дробь не меняется
3. 3
   Числитель собирается в разность квадратов: $(\sqrt{x+\Delta x}{)}^2-(\sqrt{x}{)}^2=\Delta x$ — и сокращается
4. 4
   Остаётся $\frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}$, знаменатель при $\Delta x\to 0$ едет к $2\sqrt{x}$
5. 5
   Итог: $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ — табличная строка оправдана

Числа проверяются мгновенно. В точке $x=4$ производная обязана равняться $\frac{1}{2\cdot 2}=0.25$. Средняя скорость на участке от $4$ до $4.01$: $\frac{\sqrt{4.01}-2}{0.01}\approx \frac{2.0025-2}{0.01}=0.25$. Совпало до третьего знака — определение работает, а не просто красиво звучит. Именно так таблица производных и добывалась: функция за функцией, приём за приёмом.

Так же честно добывается $\sin x$: раскрываем синус суммы по тригонометрическим формулам и встречаем первый замечательный предел.

Особая гордость экспоненты: $(e^x{)}^{\prime }=e^x$. Единственная (с точностью до множителя) функция, совпадающая со своей производной, — поэтому именно $e^t$ описывает размножение бактерий, распад изотопов и начисление процентов при непрерывной капитализации. Полная таблица — в шпаргалке по производным.

Дифференцируемость и непрерывность#

Из дифференцируемости непрерывность следует автоматически: разность $f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ равна $\Delta x\cdot \frac{\Delta f}{\Delta x}$, первый множитель гаснет, второй остаётся ограниченным — приращение стремится к нулю. Обратное неверно, и пример знаменитый: $f(x)=|x|$. Функция непрерывна всюду, но в нуле у неё излом: справа наклон $+1$, слева $-1$, общая касательная не вырабатывается. Односторонние производные существуют и различны — значит, производной нет.

В физике производная — рабочий инструмент: $v(t)=s^{\prime }(t)$ — скорость, а производная скорости даёт ускорение. Эту лестницу продолжим в уроке о производных высших порядков.

• $\Delta x$ — просто сдвиг вправо (или влево, если отрицателен); он стремится к нулю, но не равен ему
• Дробь $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ — средний наклон на участке, предел — мгновенный наклон в точке
• Производная в точке — число, производная на интервале — функция: следите, о чём спрашивают
• Касательная — предел секущих; уравнение $y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$ держится именно на этом пределе
• Дифференцируемость сильнее непрерывности: гладкое непрерывно, а непрерывное бывает колючим, как модуль

Численный кросс-чек на любом примере: посчитайте $\frac{f(x_0+0.001)-f(x_0-0.001)}{0.002}$ и сравните с ответом. Симметричная формула гасит часть ошибок округления, а расхождение с вашим результатом сразу кричит, что где-то потерян множитель. Так проверяют и лабораторные работы, и контрольные — цена вопроса одна. Определение из первого раздела, геометрия из второго и приёмы счёта складываются в один инструмент, которым уже можно пользоваться без страховки. Проверьте сами на $f(x)=sqrtx$ около $x=4$: цифры сходятся с точным $0.25$ — значит, и приёмы из шагов выше освоены не на словах.

Тренировка на скорость — в тренажёре производных. Дальше автоматизируем счёт: правила дифференцирования избавят от пределов в каждой задаче.