Таблица производных и правила дифференцирования

Ситуация, знакомая каждому первокурснику: первый пункт контрольной — найдите производную функции $4x^3-7\sin x+\ln x$. Рука тянется к телефону с онлайн-калькулятором, но его на паре не ждут. На самом деле задача решается за полминуты: достаточно таблицы производных и двух правил — константы и суммы. Это фундамент всей темы: большая часть производных первого семестра собирается из табличных кирпичей, как дом из кубиков. Свой пример прогоните через решатель производной и сверьте шаги с разбором ниже.

Идея метода одной строкой#

Механика честная и скучная в хорошем смысле: дифференцирование разбивает функцию на слагаемые и обрабатывает каждое отдельно. А саму производную слагаемого никто не выводит заново — её берут готовой из таблицы. Лейбниц, придумавший обозначение $\frac{dy}{dx}$, смотрел на такие таблицы как на алфавит: сначала буквы, потом слова. Порядок работы тот же — опознать букву, переписать, сложить.

Алгоритм: пять шагов#

1. 1
   Разбейте функцию на слагаемые по знакам плюс и минус — с каждым куском работаем независимо.
2. 2
   Опознайте тип каждого слагаемого: степень, корень, экспонента, логарифм, синус, косинус.
3. 3
   Выпишите из таблицы производную каждого слагаемого; числовые множители выносите наружу.
4. 4
   Сложите результаты, не потеряв знаки минус.
5. 5
   Упростите ответ: приведите корни и дроби к одному виду записи.
6. 6
   Контроль: подставьте $x=0$ или $x=1$ в функцию и в ответ — грубые промахи всплывают сразу.

Разбираем флагманский пример#

Считаем $(4x^3-7\sin x+\ln x{)}^{\prime }$. Слагаемое $4x^3$: четвёрку выносим, от степени остаётся $3x^2$, вместе $12x^2$. Слагаемое $-7\sin x$: минус с семёркой выносятся, от синуса остаётся $\cos x$, вместе $-7\cos x$. Слагаемое $\ln x$ табличное: $\frac{1}{x}$. Ответ: $12x^2-7\cos x+\frac{1}{x}$. Три слагаемых, три взгляда в таблицу, никакой магии. Именно так выглядят первые строки любого листка с задачами — дальше объём растёт, а приёмы остаются.

Ещё два примера: сложность нарастает#

Уровень второй: $(\sqrt{x}+\frac{2}{x}-5e^x{)}^{\prime }$. Корень переписываем как $x^{1/2}$, дифференцируем: $\frac{1}{2}{x}^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Дробь $\frac{2}{x}$ — это $2x^{-1}$, её производная $-2x^{-2}=-\frac{2}{x^2}$. Экспонента просто выносит пятёрку наружу: $-5e^x$. Итог: $\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{2}{x^2}-5e^x$. Приём «корень и дробь превращаем в степень» экономит место в голове: вместо трёх формул помните одну, про $x^n$.

А вот где теряют баллы все: $(\frac{x^3}{3}+\cos x-{\pi }^2{)}^{\prime }$. С первым слагаемым ясно: $x^2$. Косинус даёт $-\sin x$. И вдруг ${\pi }^2$. Это не функция, а число — пусть и раздражающе большое. Производная константы равна нулю, точка. Студенты, вычитавшие из ответа загадочные $2\pi$, потом долго объясняют преподавателю, откуда оно взялось. Правило одно: любое число без $x$ при дифференцировании исчезает.

Четыре типовые ошибки#

• $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$: минус половина группы забывает, и он же — самый дешёвый потерянный балл.
• Показатель не понизили: $(x^5{)}^{\prime }=5x^4$, а не $5x^5$. После дифференцирования степень обязана уменьшиться.
• Числа без $x$ — в том числе $\pi$, $e^2$, $\ln 3$ — константы, их производная ноль.
• Произведение $x^2{e}^x$ дифференцируют покомпонентно: $2x\cdot e^x$. Для произведений есть отдельное правило — см. производную произведения и частного.