Решатель · ПроизводнаяВсе методы решателяОбновлено 2026-10-05

Производная сложной функции (цепное правило)

Как найти производную сложной функции по цепному правилу: слои-матрёшка, разбор sin(5x²) и e^(2x), алгоритм из 6 шагов, интерактив с фрагментами формулы, типовые ошибки и тест.

Пример, разобранный на этой странице

(sin (5 x^{2}))^{'}

Ответ: $10 x cos (5 x^{2})$

Решить своё задание в решателе Алгоритм из 6 шагов

В контрольной функция выглядит как $sin (5 x^{2})$ — и таблица молчит: производной «синуса квадрата» там нет. На самом деле перед вами два слоя, как в матрёшке: синус снаружи, квадрат внутри. Цепное правило говорит, как проворачивать такие слои по очереди. Это самый частый приём во всём дифференцировании: стоит аргументу перестать быть голым $x$ , как нужен именно он. Свою матрёшку прогоните через решатель производной и сравните со следующими шагами.

Идея метода одной строкой#

(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

производная внешней функции (внутренность не трогаем) умножается на производную внутренности

Аналогия с почтальоном на поезде: его скорость относительно земли равна скорости относительно вагона, умноженной на скорость вагона. Слои перемножаются, а не складываются. Весь навык — научиться определять, что здесь внешнее. Ищите последнюю операцию, которая выполняется над $x$ : в $sin (5 x^{2})$ последнее действие — взятие синуса; в $(5 x^{2} + 1)^{10}$ — возведение в десятую степень; в $e^{2 x}$ — экспонента.

Алгоритм: шесть шагов#

Найдите внешний слой — последнюю операцию над $x$ .
Продифференцируйте внешнюю функцию, подставив аргумент без изменений: $(sin u)^{'} = cos u$ , где $u = 5 x^{2}$ .
Умножьте результат на производную внутреннего слоя: $(5 x^{2})^{'} = 10 x$ .
Если внутри прячется ещё слой — повторяйте шаги 2–3, пока не дойдёте до голого $x$ .
Перемножьте все собранные множители и упростите.
Контроль числом: подставьте удобное $x$ (например $0$ ) в обе функции и сравните поведение.

Разбираем флагманский пример#

Считаем $(sin (5 x^{2}))^{'}$ . Внешний слой — синус: он превращается в $cos (5 x^{2})$ , аргумент остаётся нетронутым. Внутренний — $5 x^{2}$ : его производная $10 x$ . Перемножаем: $10 x cos (5 x^{2})$ . Классическая ошибка здесь — обойтись без множителя $10 x$ . Запомните счёт: сколько слоёв, столько сомножителей. Два слоя — два множителя; потерянный внутренний множитель стоит дороже любой опечатки.

Ещё два примера#

Короткий: $(e^{2 x})^{'} = 2 e^{2 x}$ . Экспонента не меняется, а двойка из показателя выезжает вперёд множителем. Эта формула встречается в физике и экономике чаще всех остальных: любой экспоненциальный рост с темпом два прячется именно здесь, от радиоактивного распада до начисления непрерывных процентов.

Мощный: $((3 x + 1)^{100})^{'}$ . Раскрывать бином — минут десять и сто слагаемых. Цепное правило справляется за секунду: внешняя степень даёт $100 (3 x + 1)^{99}$ , внутренняя тройка умножает ответ: $300 (3 x + 1)^{99}$ . За это цепное правило и любят: оно съедает задачи, которые вручную не прожевать.

Разбираем формулу по фрагментам

Нажимай на части!

Каждая часть формулы кликабельна — под ней появится объяснение её роли. Так формулы перестают быть кашей из символов.

Нажмите на любую часть формулы выше

Четыре типовые ошибки#

Потерять внутреннюю производную: $(sin (5 x^{2}))^{'} \neq = cos (5 x^{2})$ . Правильно $10 x cos (5 x^{2})$ .
Подставить $x$ вместо внутреннего слоя в производную внешней: $(ln (cos x))^{'}$ начинается с $\frac{1}{c o s x}$ , а не с $\frac{1}{x}$ .
Перепутать порядок слоёв: сначала внешний, потом внутренний. Сверху вниз, как чистят луковицу.
Тащить цепное правило туда, где аргумент простой: $(sin x)^{'} = cos x$ без всяких множителей — внутренний слой это $x$ , его производная единица.

Проверь себя+10 XP

Чему равна $(cos 4 x)^{'}$ ?

Частые вопросы

Как найти производную $e^{2x}$ и похожих экспонент?

Экспонента при дифференцировании не меняется, а её показатель вносит множитель — производную внутренней функции. Для $e^{2x}$ это двойка: ответ $2e^{2x}$. Для $e^{x^2}$ множителем выедет $2x$, и ответ станет $2x\,e^{x^2}$. Общее правило $(e^{u})' = e^{u}\,u'$ вместе с таблицей — в шпаргалке [таблица производных](/shpargalki/tablica-proizvodnyh/).

Что делать, если слоёв больше двух — например $e^{\sin x^2}$?

Ничего особенного: правило просто продолжается. Внешняя экспонента даёт саму себя, средний синус — $\cos(x^2)$, внутренний квадрат — $2x$. Всё перемножается: $2x\cos(x^2)\,e^{\sin(x^2)}$. Счёт слоёв — надёжный самоконтроль: три слоя, три сомножителя. Ряд тренировочных матрёшек разной глубины собран в [уроке о сложной функции](/course/matanaliz/proizvodnaya-slozhnoy-funkcii/).

Зачем цепное правило вне матанализа?

Везде, где одна скорость зависит от другой. Радиоактивный распад: скорость распада пропорциональна количеству вещества, и концентрация считается композицией экспоненты и времени. Охлаждение кофе следует закону Ньютона — там тоже композиция функций. Даже в биологии рост популяции моделируют цепочкой экспонент. Базовое понятие с определением — в статье [производная](/terminy/proizvodnaya/).