Производная произведения и частного

Домашка по матанализу: найти производную $x^2\ln x$. Логика «перемножу производные каждого множителя» даёт $2x\cdot \frac{1}{x}=2$. Красиво, коротко — и неправильно. Верный ответ $2x\ln x+x$, и он длиннее ровно потому, что произведение живёт по собственному закону. Проверить своё решение можно в решателе производной: он применяет правило автоматически и показывает промежуточные шаги.

Идея метода одной строкой#

Почему нельзя просто перемножить производные? Возьмите $u=v=x$: произведение равно $x^2$, его производная $2x$. А $u^{\prime }{v}^{\prime }=1$. Расхождение в два раза уже на самом простом примере. Правило устроено честнее: каждый множитель по очереди «подменяется» своей производной, второй в это время стоит на месте. У частного добавляются знаменатель $v^2$ и строгий порядок вычитания: производная числителя идёт первой.

Алгоритм: шесть шагов#

1. 1
   Обозначьте множители: $u$ — то, что стоит первым, $v$ — вторым.
2. 2
   Найдите $u^{\prime }$ и $v^{\prime }$ по отдельности, пользуясь таблицей производных.
3. 3
   Подставьте всё в формулу $u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$: первый множитель дифференцирован, второй — нет, и наоборот.
4. 4
   Для дроби следите за порядком в числителе: сначала $u^{\prime }v$, затем минус $u{v}^{\prime }$.
5. 5
   Знаменатель возведите в квадрат целиком: $v^2$, а не $v$.
6. 6
   Упростите: вынесите общий множитель за скобку — ответ часто сокращается вдвое.

Разбираем флагманский пример#

Считаем $(x^2\sin x{)}^{\prime }$. Здесь $u=x^2$, $v=\sin x$, производные $u^{\prime }=2x$ и $v^{\prime }=\cos x$. Подставляем: $u^{\prime }v+u{v}^{\prime }=2x\sin x+x^2\cos x$. Упрощать нечего, но проверка нужна: при $x=\frac{\pi }{2}$ ответ равен $\pi$. Числовой контроль занимает десять секунд и отлавливает знаки надёжнее, чем повторное чтение собственного решения.

Ещё два примера#

Случай, где упрощение решает: $(x\ln x{)}^{\prime }$. Множители $x$ и $\ln x$, производные $1$ и $\frac{1}{x}$. Формула: $1\cdot \ln x+x\cdot \frac{1}{x}=\ln x+1$. Второе слагаемое схлопнулось в единицу. Такие «схлопывания» случаются постоянно, поэтому не бросайте задачу сразу после подстановки в правило — доведите алгебру до конца.

Теперь частное посерьёзнее: ${\left(\frac{x^2}{x+1}\right)}^{\prime }$. Числитель $u=x^2$, знаменатель $v=x+1$, производные $2x$ и $1$. Числитель правила: $2x(x+1)-x^2\cdot 1=x^2+2x$. Знаменатель: $(x+1{)}^2$. Ответ: $\frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}$. Если поменять слагаемые в числителе местами, знак производной перевернётся — на проверочных это стоит целого пункта.

Четыре типовые ошибки#

• Перемножить производные: $(uv{)}^{\prime }\ne u^{\prime }{v}^{\prime }$. Контрпример $x\cdot x$ видели выше.
• Перепутать порядок в частном: стоит $u^{\prime }v-u{v}^{\prime }$, а не $u{v}^{\prime }-u^{\prime }v$. Минус в числителе перевернёт все дальнейшие выводы.
• Забыть квадрат знаменателя: делитель именно $v^2$.
• Бросить ответ без упрощения. В примере с $x\ln x$ половина работы — вынесение и сокращение, а не само правило.