Производная параметрически заданной функции

Кривая пришла не в виде $y(x)$, а парой часов: $x=t^2$, $y=t^3$. Попробуйте выразить $y$ через $x$ — получите корень и потерю знака, красивого ответа нет. Механики с такой формой сталкиваются постоянно: координаты точки заданы как функции времени, а спрашивают наклон траектории. Выход умещается в одну формулу-дробь. Свой пример подставьте в решатель производной, чтобы сверить каждый шаг.

Идея метода одной строкой#

Запись $\frac{dy}{dx}$ честно раскладывается в дробь: $\frac{dy/dt}{dx/dt}$. Физически всё прозрачнее: если $x(t)$ и $y(t)$ — координаты движущейся точки, то $x_t^{\prime }$ и $y_t^{\prime }$ — компоненты скорости, а их отношение — наклон траектории к оси $x$. Условие $x_t^{\prime }\ne 0$ означает: пока точка не остановилась по горизонтали, у траектории есть обычный наклон. Остановилась — касательная вертикальна.

Алгоритм: пять шагов#

1. 1
   Найдите $x_t^{\prime }$ — производную икса по параметру.
2. 2
   Найдите $y_t^{\prime }$.
3. 3
   Разделите: $y_x^{\prime }=y_t^{\prime }/x_t^{\prime }$. Ответ останется выраженным через $t$ — так и должно быть.
4. 4
   Подставьте требуемое значение параметра и проверьте $x_t^{\prime }\ne 0$ в этой точке.
5. 5
   Нужна вторая производная? Дифференцируйте $y_x^{\prime }$ по $t$ ещё раз и снова разделите на $x_t^{\prime }$.

Разбираем флагманский пример#

Дано $x=t^2$, $y=t^3$. Производные: $x_t^{\prime }=2t$, $y_t^{\prime }=3t^2$. Дробь: $\frac{3t^2}{2t}=\frac{3t}{2}$ — при $t=1$ наклон равен $\frac{3}{2}$. Вторая производная для тренировки: дифференцируем $\frac{3t}{2}$ по $t$, получаем $\frac{3}{2}$, делим на $x_t^{\prime }=2t$, итог $\frac{3}{4t}$ — в единице выходит $\frac{3}{4}$. Двойное деление на $x_t^{\prime }$ — то место, где чаще всего спотыкаются.

Ещё два примера#

Эллипс: $x=3\cos t$, $y=2\sin t$. Производные $-3\sin t$ и $2\cos t$, дробь $y_x^{\prime }=-\frac{2}{3}\mathrm{ctg}t$. При $t=\frac{\pi }{4}$ наклон равен $-\frac{2}{3}$. Заметьте: в точках $t=0$ и $t=\pi$ знаменатель обнуляется — касательная там вертикальна, и формула честно сообщает об этом делением на ноль.

Циклоида — кривая точки на ободе катящегося колеса; Галилей считал её красивейшей кривой природы, а математики XVII века состязались в задачах о ней, как спортсмены. Задание: $x=t-\sin t$, $y=1-\cos t$. Производные: $1-\cos t$ и $\sin t$. Дробь $\frac{\sin t}{1-\cos t}$ раскладывается формулами половинного угла в $\mathrm{ctg}\frac{t}{2}$: касательная к циклоиде в каждой точке наклонена к вертикали ровно под углом $\frac{t}{2}$.

Четыре типовые ошибки#

• Умножить вместо деления: $y_x^{\prime }=y_t^{\prime }\cdot x_t^{\prime }$ — невероятно популярная выдумка. Дробь дифференциалов подсказывает деление.
• Вторая производная: делить на $x_t^{\prime }$ нужно дважды, а не один раз. Забытый второй знаменатель ломает весь ход.
• Не проверить $x_t^{\prime }\ne 0$: в точках горизонтальной остановки формула неприменима, касательная вертикальна.
• Подставить $x$ туда, где просят $t$: ответ параметрической задачи живёт в терминах параметра, если не сказано иное.