Касательная и нормаль к графику функции

ЕГЭ и первая контрольная по матанализу любят одно и то же задание: составьте уравнение касательной к параболе в точке. Строить по линейке на глаз не выйдет — нужна алгебра, и она короткая: значение функции, значение производной, две подстановки. Ньютон начинал ровно с задачи о касательных: кривые он называл «флюентами», производные — «флюксиями», и касательная была для него траекторией точки, движущейся по кривой с переменной скоростью.

Идея метода одной строкой#

Производная в точке — это и есть наклон касательной: геометрический смысл, ради которого всё затевалось. Нормаль проводим перпендикулярно: наклоны перпендикулярных прямых в произведении дают $-1$, поэтому из наклона $k$ вырастает $-\frac{1}{k}$. Обе прямые обязаны проходить через точку касания $(x_0,f(x_0))$ — эта проверка отсеивает половину ошибок до сдачи работы.

Алгоритм: пять шагов#

1. 1
   Найдите ординату точки касания $f(x_0)$ — прямая приклеена к этой точке.
2. 2
   Вычислите $f^{\prime }(x)$ и подставьте $x_0$: получите наклон $k=f^{\prime }(x_0)$.
3. 3
   Запишите касательную: $y=f(x_0)+k(x-x_0)$ и приведите к виду $y=kx+b$.
4. 4
   Для нормали переверните наклон: $k_{\text{норм}}=-1/f^{\prime }(x_0)$; при $f^{\prime }(x_0)=0$ нормаль вертикальна: $x=x_0$.
5. 5
   Проверка: подставьте $x_0$ в оба уравнения — обе прямые обязаны вернуть $f(x_0)$.

Разбираем флагманский пример#

Парабола $y=x^2$, точка $x_0=1$. Ордината: $f(1)=1$. Наклон: $f^{\prime }(x)=2x$, значит $f^{\prime }(1)=2$. Касательная: $y=1+2(x-1)=2x-1$. Нормаль: наклон $-\frac{1}{2}$, через ту же точку: $y=1-\frac{1}{2}(x-1)=\frac{3}{2}-\frac{x}{2}$. Контроль: при $x=1$ обе прямые дают единицу. Всё решение — три строки, из которых две арифметика.

Ещё два примера#

Синус в нуле: $y=\sin x$, $x_0=0$. Значение ноль, наклон $\cos 0=1$ — касательная $y=x$, знакомая биссектриса. Нормаль перпендикулярна: $y=-x$. Заодно здесь прячется важное сообщение: вблизи нуля синус неотличим от прямой $y=x$. Касательная — локальное приближение кривой, и на этом приближении построена половина прикладной математики.

Логарифм в характерной точке: $y=\ln x$, $x_0=e$. Ордината $1$, наклон $\frac{1}{e}$. Касательная: $y=1+\frac{x-e}{e}=\frac{x}{e}$ — она проходит через начало координат. Такие сюрпризы обожают составители олимпиадных задач: подставили $x_0$ — и получили неожиданную геометрию. Проверка через точку касания и здесь работает безотказно.

Четыре типовые ошибки#

• Подставить произвольный $x$ вместо $x_0$ в производную: наклон считается только в точке касания.
• Забыть сдвиг $(x-x_0)$ и написать $y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)x$ — прямая уедет из точки касания.
• При $f^{\prime }(x_0)=0$ делить на ноль в формуле нормали: касательная горизонтальна, нормаль вертикальна, $x=x_0$.
• Считать касательной прямую через две точки графика: секущая совпадёт с касательной, лишь когда точки сливаются, — это предел, а не построение.