Касательная

Касательная — прямая, которая в точке $x_0$ ведёт себя как график: проходит через неё с тем же наклоном. Наклон даёт производная: $k=f^{\prime }(x_0)$. Уравнение одной строкой:

Школьный миф «касательная — прямая с одной общей точкой» проваливается мгновенно. У параболы $y=x^2$ прямая $y=0$ действительно имеет одну общую точку — вершину, но касательной не является: она просто режет график. Зато настоящая касательная в точке $(1;1)$ — прямая $y=2x-1$ — пересекает параболу ещё раз, пониже по склону. Касание определяется поведением вблизи точки, а не подсчётом общих точек.

Настоящая сила касательной — в линеаризации: вблизи $x_0$ график почти неотличим от прямой, и сложную функцию можно заменить линейной. Приближённое $\sqrt{4.1}$: касательная к $\sqrt{x}$ в точке 4 имеет наклон $\frac{1}{4}$, значит $\sqrt{4.1}\approx 2+\frac{0.1}{4}=2.025$ — против истинного $2.0248$. Физика малых колебаний, погрешности измерений, быстрый устный счёт — всюду работает одна и та же линейная подмена.

Перпендикулярная касательная прямая через ту же точку называется нормалью; её наклон равен $-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$. Нормаль задаёт направление «внутрь кривой» — ею пользуются при поиске центров кривизны и в задачах на отражение.

Соберём касательную с нуля для $f(x)=\ln x$ в точке $x_0=1$: значение $f(1)=0$, наклон $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$, значит $k=1$. Уравнение $y=0+1\cdot (x-1)$, то есть $y=x-1$. Проверим вблизи: $\ln 1.1\approx 0.0953$, а касательная даёт $1.1-1=0.1$ — совпадение до третьего знака. Чем ближе к точке касания, тем точнее линейная подмена; на этом держится и дифференциал $dy=f^{\prime }(x_0)dx$ — главная «мелкая монета» анализа, которой платят за приближённые вычисления.

Где касательная работает за вас. Задача на прирост: скорость изменения площади круга по радиусу — это наклон касательной к $S=\pi r^2$, то есть $2\pi r$: каждый лишний сантиметр радиуса добавляет площадь ровно по длине окружности. Проверьте числом: при $r=5$ линейная прикидка $2\pi \cdot 5\cdot 0.1\approx 3.14$ см², а точный прирост от 5 до 5.1 равен $\pi (5.1^2-5^2)\approx 3.17$ см² — совпадение до первого знака. Так линейная подмена отвечает на практические вопросы почти бесплатно.