Числовые последовательности: от натуральных чисел до предела

Всё начинается со счёта. Мать учит ребёнка: «один, два, три…» — и, сами того не замечая, знакомит его с первой числовой последовательностью. Последовательность — это просто список чисел, выстроенных по порядку. Но вся мощь математического анализа рождается из одного вопроса к этому списку: куда он ведёт?

Что такое числовая последовательность#

Формально числовая последовательность — это функция, определённая на множестве натуральных чисел. Каждому номеру $n=1,2,3,\dots$ соответствует своё число $a_n$ — общий член последовательности. Пишут так: $\{a_n\}$ или $(a_n)$.

Разница между функцией и последовательностью — в области определения. Обычная функция живёт на всей числовой прямой (и на дробных точках тоже), последовательность — только на целых номерах. Поэтому её график — не линия, а набор отдельных точек.

• $a_n=n$ — натуральный ряд: 1, 2, 3, 4, … (растёт без ограничений)
• $a_n=\frac{1}{n}$ — последовательность 1, 0.5, 0.33… (приближается к нулю)
• $a_n=(-1{)}^n$ — чередование $-1,1,-1,1,\dots$ (дрожит на месте)
• $a_n=5$ — постоянная последовательность: всегда пять

Заметьте: последовательность задаётся формулой общего члена — правилом, по которому из номера $n$ получается число. Найти это правило по первым членам — популярная разминка на семинарах, но главное искусство — обратное: по поведению последовательности понять, куда она стремится.

Ограниченность: не улетаем ли в бесконечность#

Последовательность называется ограниченной сверху, если существует число $M$, что все члены не больше его: $a_n\le M$ для любого $n$. Аналогично определяется ограниченность снизу. Если верно и то и другое — последовательность просто ограниченная.

Натуральный ряд $1,2,3,\dots$ ограничен снизу (нулём), но не ограничен сверху — он улетает в бесконечность. А вот $a_n=\frac{1}{n}$ ограничена с двух сторон: все её члены живут в отрезке $[0,1]$.

Монотонность: растёт или убывает#

Последовательность возрастает, если каждый следующий член больше предыдущего: $a_{n+1}>a_n$. Убывает — если меньше. Если равенство допускается, говорят о неубывающих и невозрастающих последовательностях, а вместе — о монотонных.

Проверить монотонность просто: составьте разность $a_{n+1}-a_n$ или отношение $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ (для положительных членов) и посмотрите на его знак.

1. 1
   Вычисляем разность: $a_{n+1}-a_n=\frac{n+2}{n+3}-\frac{n+1}{n+2}$
2. 2
   Приводим к общему знаменателю: $\frac{(n+2{)}^2-(n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)}=\frac{n^2+4n+4-n^2-4n-3}{(n+3)(n+2)}$
3. 3
   Упрощаем: $\frac{1}{(n+3)(n+2)}>0$ — разность положительна
4. 4
   Вывод: последовательность строго возрастает

Монотонность сама по себе не гарантирует «хорошего» поведения: натуральный ряд монотонно растёт, но уходит в бесконечность. Однако в паре с ограниченностью возникает чудо — теорема Вейерштрасса: монотонная и ограниченная последовательность обязательно сходится. Это один из главных инструментов доказательства сходимости в анализе.

Предел последовательности#

Вот главный вопрос: к чему ведёт последовательность? Число $a$ называется пределом последовательности $\{a_n\}$, если для любого маленького положительного числа $\epsilon$ найдётся номер $N$, начиная с которого все члены попадают в полосу $(a-\epsilon ,a+\epsilon )$. Пишут: ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=a$.

Разберём на пальцах. Возьмём $a_n=\frac{n}{n+1}$ и заявим: предел равен 1. Проверим для $\epsilon =0.01$: нужно, чтобы $\left|\frac{n}{n+1}-1\right|<0.01$, то есть $\frac{1}{n+1}<0.01$, то есть $n>99$. Значит, начиная со 100-го члена все точки уже в полосе. Возьмём $\epsilon =0.0001$? Пожалуйста: $n>9999$. Каким бы крошечным ни было $\epsilon$, найдётся номер, после которого последовательность «прилипает» к единице.

Если предел существует и конечен, последовательность называется сходящейся. Если предела нет (например, $(-1{)}^n$ дрожит между $-1$ и $1$) или он бесконечен — расходящейся. Бесконечно малой называют последовательность с пределом ноль: $\frac{1}{n}$, $\frac{(-1{)}^n}{n}$, $\frac{1}{2^n}$.

Собираем всё вместе: один пример от и до

Пробежимся по всей цепочке инструментов на одной последовательности: $a_n=\frac{3n-2}{n+1}$. Задача — доказать сходимость и найти предел, как это требуют на зачёте.

1. 1
   Монотонность: составляем разность $a_{n+1}-a_n=\frac{3n+1}{n+2}-\frac{3n-2}{n+1}$
2. 2
   Общий знаменатель $(n+2)(n+1)$; числитель после раскрытия скобок: $(3n+1)(n+1)-(3n-2)(n+2)=3n^2+4n+1-3n^2-4n+4=5$
3. 3
   Итого $a_{n+1}-a_n=\frac{5}{(n+1)(n+2)}>0$ — последовательность строго возрастает
4. 4
   Ограниченность: выделим целую часть $a_n=\frac{3(n+1)-5}{n+1}=3-\frac{5}{n+1}$, откуда $\frac{1}{2}\le a_n<3$
5. 5
   Вейерштрасс гарантирует существование предела; арифметика пределов даёт значение: ${\lim }_{n\to \infty }\left(3-\frac{5}{n+1}\right)=3-0=3$

Ключевой шаг — выделение целой части: одна перестройка дроби сделала очевидными сразу монотонность, ограниченность и предел. Без неё пришлось бы возиться с тремя отдельными выкладками. Такие «маленькие хитрости» и отличают чистую контрольную от мучительной.

Свойства сходящихся последовательностей#

Предел — операция «честная»: он дружит с арифметикой. Если $a_n\to a$ и $b_n\to b$, то:

• $a_n\pm b_n\to a\pm b$ — предел суммы равен сумме пределов
• $a_n\cdot b_n\to a\cdot b$ — то же с произведением
• $\frac{a_n}{b_n}\to \frac{a}{b}$ при $b\ne 0$ — то же с частным
• зажатая последовательность: если $c_n\le a_n\le b_n$ и оба «зажима» сходятся к одному числу, к нему же сходится и $a_n$ (теорема о двух милиционерах)

Теорема о двух милиционерах — классика: два «милиционера» $c_n$ и $b_n$ идут к одному месту, а $a_n$ идёт между ними — деваться ей некуда. Именно так доказывают первый замечательный предел и сходимость $\sqrt[n]{n}$ к единице.

Куда всё это движется дальше? В следующем уроке определение предела расписывается строго — через допуск $\epsilon$ и номер $N$: предел последовательности. Термин предел разобран в словаре; частные случаи последовательностей — арифметическая и геометрическая прогрессии — со своими формулами лежат в шпаргалке по прогрессиям, а потренироваться узнавать сценарии поведения можно в тренажёре пределов.

Число e — звезда среди пределов

Рассмотрим последовательность $a_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$: сначала 2, потом 2.25, 2.37… Члены растут, но всё медленнее — и сходятся к знаменитому числу $e\approx 2.71828$. Это второй замечательный предел, и через него определяется экспонента — функция, описывающая любой процесс «скорость пропорциональна количеству».

Банковская легенда делает это число осязаемым: рубль под 100% годовых с однократной капитализацией превращается за год в два рубля, а с ежедневной — в ${\left(1+\frac{1}{365}\right)}^{365}\approx 2.7146$ рубля. Если капитализацию учащать бесконечно, сумма упрётся ровно в $e$ — ни при какой частоте начислений дальше не уйдёт. Откуда взялся такой поворот природы и почему именно это основание, — читайте в словарных статьях про число e и экспоненту. Ещё одна знаменитая константа с пределом в главной роли — золотое сечение, к нему сходятся отношения соседних членов Фибоначчи.

• Ограниченность — про «не выходим за забор», монотонность — про «движемся в одну сторону»; для теоремы Вейерштрасса нужны обе
• Дробь $\frac{1}{\text{растущее}}$ — мгновенный ответ «нуль»: $\frac{1}{n}$, $\frac{1}{n^2}$, $\frac{1}{2^n}$
• Дрожание с затуханием сходится ($\frac{(-1{)}^n}{n}$), дрожание без затухания — нет ($(-1{)}^n$)
• Разность $a_{n+1}-a_n$ — универсальный тест монотонности: общий знаменатель, знак числителя, вывод
• Порядок работы: сначала доказать сходимость (Вейерштрасс, зажим), и только потом считать значение предела