Число e

Число $e$ — константа естественного роста: $e=2.718281828\dots$ Возникает из повседневного вопроса о процентах. Вклад под $100\%$ годовых с ежегодной капитализацией удвоится: $(1+1{)}^1=2$. С ежемесячной — вырастет в $(1+\frac{1}{12}{)}^{12}\approx 2.61$ раза. С ежедневной — ещё больше. Но рост не улетает в небо: по мере учащения капитализации сумма зажимается к $e\approx 2.718$.

Первое равенство — второй замечательный предел, второй сюжет любого курса замечательных пределов; второе — разложение в ряд, и для вычислений оно удобнее. $e$ иррационально и трансцендентно (Эрмит, 1873). Но настоящая слава — в анализе: экспонента $e^x$ равна своей производной, поэтому логарифм по основанию $e$ называется натуральным. Всё, что в высшей математике связано с ростом и распадом, пишется в этом основании — от экспоненты до решения $y=C{e}^{kx}$ простейших дифференциальных уравнений.

Пределы вида $(1+\frac{k}{x}{)}^{mx}$ сводятся ко второму замечательному пределу заменой — техника отрабатывается в тренажёре пределов. Ряд $\sum \frac{1}{k!}$ связывает $e$ с факториалом — и это один из самых быстрых способов доказать иррациональность числа.

Считать $e$ удобно рядом $\sum \frac{1}{k!}=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\dots$: пять слагаемых дают $2.7167$, семь — $2.71825$, ошибка меньше одной десятитысячной. Отсюда же, из ряда, следует иррациональность: доказательство Фурье умещается в абзац — «хвост» ряда зажат между нулём и правильной дробью, а такого не бывает у целых чисел. В прикладных задачах $e$ работает в паре с натуральным логарифмом: непрерывные проценты — просто $e^{rt}$ при ставке $r$ и времени $t$.

Пара «экспонента — логарифм» решает уравнения с неизвестным в показателе: $e^{2x}=5$ после логарифмирования даёт $x=\frac{\ln 5}{2}\approx 0.805$. Сравнение гигантских чисел идёт тем же путём: что больше, $10^{30}$ или $e^{70}$? Сравните $30\ln 10\approx 69.1$ и $70$ — победила экспонента. Два якоря графика $y=e^x$: точка $(0;1)$ и ось $x$, к которой кривая прижимается слева, не касаясь её.