Последовательность

Числовая последовательность — функция натурального аргумента: каждому $n=1,2,3,\dots$ сопоставлено число $a_n$. Задают её либо формулой ($a_n=1/n$, $a_n=n/(n+1)$), либо рекуррентно — выражением очередного члена через предыдущие, как $a_{n+1}=a_n/2$. Последовательности — скелет всего анализа: пределы, ряды и итерационные методы живут про них; даже число $e$ определяется как предел последовательности $(1+1/n{)}^n$.

Интуиция: бесконечная таблица чисел, и главный вопрос — куда она идёт. Последовательность сходится, если её члены с ростом $n$ прижимаются к одному числу — пределу. Полезные ярлыки: монотонность (члены только растут или только убывают) и ограниченность (все члены зажаты между двумя константами). Контрпример для настроения: $a_n=(-1{)}^n$ навсегда прыгает между $-1$ и $1$ — ограничена, но ни к чему не прижимается, предела нет. Отдельный класс — рекуррентные: каждый следующий член уточняет предыдущий, как в методе половинного деления или приближениях квадратного корня.

Мини-пример: докажем, что $a_n=\frac{n}{n+1}$ сходится к 1. Перепишем: $a_n=1-\frac{1}{n+1}$, расстояние до единицы равно $\frac{1}{n+1}$. Требуем $\frac{1}{n+1}<\epsilon$; при $\epsilon =0.01$ это $n>99$, то есть $N=100$. Проверка: $a_{100}=100/101\approx 0.9901$ — внутри полосы. Та же последовательность монотонно растёт и ограничена сверху единицей, поэтому сходится и по теореме Вейерштрасса — оба пути ведут к одному ответу, второй короче, но не даёт значения предела. Численный контроль: $a_9=0.9$, $a_{99}\approx 0.99$ — хвост приближается к единице со скоростью $1/n$.

Первый шаг в теме — урок числовые последовательности, строгое определение и арифметика пределов — предел последовательности. Словарь: определение предела и термин ряд — что случается, когда члены последовательности складывают. Тренировка вычислений — разбор как решать пределы; весь словарь курса — в глоссарии.