Предел последовательности: как находить

Перед вами последовательность $a_n=\frac{3n^2+2n}{n^2-5}$ и вопрос: что с ней происходит, когда $n$ убегает в бесконечность? Калькулятор бессилен — попробуй подставь $10^{100}$. Зато помогает дисциплина: у пределов последовательностей короткий набор приёмов, и каждый узнаётся по «форме» выражения. Здесь они собраны в один алгоритм, а живой счёт — в решателе пределов: введите свою последовательность и сверьте ответ с ручным решением.

Идея: сравниваем скорости роста#

Ключ к бесконечным пределам — скорости. Слагаемые дроби соревнуются: кто растёт быстрее, тот и определяет поведение всей суммы. В числителе $3n^2+2n$ при больших $n$ правит бал $3n^2$, потому что $2n$ против него — мелочь на скорости; в знаменателе главную роль играет $n^2$. Отсюда и ответ в примере выше: отношение коэффициентов $3/1$. Никакой магии — просто честное деление числителя и знаменателя на $n^2$, после чего каждая дробь вида $\frac{2}{n}$ обнуляется.

Та же логика работает и за пределами многочленов. Показательная $a^n$ при $a>1$ обгоняет любую степень $n^k$, факториал обгоняет показатель, а $n^n$ — факториал. Если в дроби встречаются участники разных «весовых категорий», старшая — та, что растёт быстрее, — и делить надо уже на неё.

Алгоритм: пять шагов#

1. 1
   Определите тип: мысленно подставьте «грубую бесконечность» и посмотрите, что сталкивается. Чаще всего это $\frac{\infty }{\infty }$, иногда $\infty -\infty$ или $1^{\infty }$.
2. 2
   При $\frac{\infty }{\infty }$ разделите числитель и знаменатель на старшую степень $n$ в дроби (или на самого быстрого игрока — экспоненту, факториал).
3. 3
   Используйте заготовки: $\frac{1}{n}\to 0$, $q^n\to 0$ при $|q|<1$, $\sqrt[n]{a}\to 1$, $\sqrt[n]{n}\to 1$.
4. 4
   При $\infty -\infty$ домножьте на сопряжённое выражение или вынесите старшую степень за скобку.
5. 5
   Сверьте ответ с интуицией: числитель тяжелее — ждите $\infty$, знаменатель тяжелее — $0$, равные веса — отношение коэффициентов.

Разбор флагманского примера#

Считаем ${\lim }_{n\to \infty }\frac{3n^2+2n}{n^2-5}$. Тип — $\frac{\infty }{\infty }$. Делим числитель и знаменатель на $n^2$: получается $\frac{3+\frac{2}{n}}{1-\frac{5}{n^2}}$. Каждое слагаемое с $n$ в знаменателе уходит в нуль, и предел равен $\frac{3+0}{1-0}=3$. Вся работа — одно деление и три обнуления; отдельные члены $2n$ и $5$ не «пропали», они просто потеряли гонку у $n^2$.

Следующий пример прогоните по тем же шагам самостоятельно — открывайте карточки по одной и сначала угадывайте ход.

Разность корней и другие хитрые формы#

Когда дроби нет, а есть разность $\sqrt{n^2+3n}-n$, формула со старшей степенью напрямую не применима: формально выходит $\infty -\infty$. Приём — домножить на сопряжённое: $\left(\sqrt{n^2+3n}-n\right)\cdot \frac{\sqrt{n^2+3n}+n}{\sqrt{n^2+3n}+n}=\frac{3n}{\sqrt{n^2+3n}+n}$. Делите теперь на $n$ — и ответ $\frac{3}{1+1}=\frac{3}{2}$.

А вот пример на весовые категории: ${\lim }_{n\to \infty }\frac{2^n+5^n}{2^n+n^{10}}$. Делим на самого быстрого участника — $5^n$. Числитель превращается в ${\left(\frac{2}{5}\right)}^n+1$, знаменатель — в ${\left(\frac{2}{5}\right)}^n+\frac{n^{10}}{5^n}$. Первые слагаемые и показательное «хвост» в знаменателе обнуляются: экспонента бьёт любой многочлен. Ответ — единица.

Три типовые ошибки#

• Сокращать «бесконечности»: запись $\frac{\infty }{\infty }=1$ — брак. Неопределённость не равна ничему, пока вы её не раскрыли делением на старшую степень.
• Делить на не ту степень. Если в числителе куб, а в знаменателе квадрат, деление на $n^2$ ничего не раскроет — берите максимум из встретившихся степеней.
• Применять арифметику пределов к $\infty -\infty$. Разность двух бесконечных величин — не нуль, а неопределённость: сопряжённое или вынос за скобку обязательны.