Неопределённости 1^∞, 0·∞ и ∞−∞

Три неопределённости не решаются ни делением на старшую степень, ни таблицей замен в лоб. ${\left(\frac{x+3}{x-1}\right)}^x$: основание стремится к единице, показатель — к бесконечности, и наивная подстановка даёт $1^{\infty }$ — запись, не равную ничему. У каждой из трёх форм есть свой ключ: экспонента, сопряжённое выражение, общий знаменатель. Здесь — все три; счёт сверяйте в решателе пределов.

Идея: каждая форма сводится к уже известной#

Шаблон — прямое следствие второго замечательного предела: основание переписывается как ${\left[(1+\alpha {)}^{1/\alpha }\right]}^{\alpha \beta }$, внутренняя скобка уходит к $e$, и остаётся посчитать произведение в показателе. Для $0\cdot \infty$ приём иной: переверните один сомножитель ($f\cdot g=\frac{f}{1/g}$) и получите законную дробь $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty }{\infty }$. Для $\infty -\infty$ работают общий знаменатель и сопряжённое: разность бесконечностей обязана «опуститься» до конечной дроби, после чего вступает деление на старшую степень.

Алгоритм: пять шагов#

1. 1
   Определите форму: $1^{\infty }$, $0\cdot \infty$ или $\infty -\infty$ — приёмы у них разные, перепутать легко.
2. 2
   Для $1^{\infty }$: выделите у основания добавку $\alpha$ и вычислите $\lim \alpha \beta$ (при необходимости — переворотом и Лопиталем).
3. 3
   Для $0\cdot \infty$: переверните «лёгкий» сомножитель, чтобы получить дробь, и работайте по стандартным правилам.
4. 4
   Для $\infty -\infty$: приведите к общему знаменателю или домножьте на сопряжённое; следите за знаком при $x\to -\infty$.
5. 5
   Проверка ответа по порядку величины: экспоненты дают конечные положительные числа, разности корней — конечные дроби, произведение «мало × безгранично» может уйти куда угодно.

Разбор флагманского примера#

Считаем ${\lim }_{x\to \infty }{\left(\frac{x+3}{x-1}\right)}^x$. Основание: $\frac{x+3}{x-1}=1+\frac{4}{x-1}$, то есть $\alpha =\frac{4}{x-1}\to 0$, форма законная $1^{\infty }$. Произведение «добавка × показатель»: $\frac{4}{x-1}\cdot x=\frac{4x}{x-1}\to 4$. Ответ — $e^4$. Заметьте, как неопределённость испарилась после выделения добавки: весь вопрос живёт в произведении, а не в самой степени.

Теперь разность корней — форма $\infty -\infty$, где без сопряжённого никуда.

Произведение малой и безграничной#

Третья форма, $0\cdot \infty$, любима за наглядность: ${\lim }_{x\to 0^{+}}x\ln x$. Логарифм уходит в $-\infty$, аргумент — в нуль, и у произведения нет очевидного исхода. Переворачиваем «тонкий» сомножитель: $x\ln x=\frac{\ln x}{1/x}$ — теперь форма $\frac{\infty }{\infty }$, и правило Лопиталя (доказательства — в уроке правило Лопиталя) даёт $\lim \frac{1/x}{-1/x^2}=\lim (-x)=0$. Вывод: логарифмическая бесконечность слабее степенной малости — экспонента всегда сильнее.

Три типовые ошибки#

• Применять шаблон $e^{\lim \alpha \beta }$ без проверки основания: если оно не стремится ровно к единице, шаблон врёт. Сначала выделите $1+\alpha$ и убедитесь, что $\alpha \to 0$.
• Считать $\infty -\infty =0$: разность бесконечностей — неопределённость. У $\sqrt{x^2+x}-x$ ответ $\frac{1}{2}$, а не ноль.
• Забыть про знак при $x\to -\infty$: $\sqrt{x^2}=|x|=-x$, и сопряжённое даёт другой предел. Направление подхода проверяется до домножения.