Односторонние пределы и точки разрыва

У функции $\frac{|x|}{x}$ вопрос «чему равен предел в нуле» не имеет ответа — но только до уточнения, с какой стороны мы подходим. Справа ответ $1$, слева $-1$, и обе величины совершенно честные. Односторонние пределы — способ говорить о поведении функции у «плохих» точек без требований к её прошлому и будущему; а заодно — инструмент классификации разрывов, который экзаменаторы любят не меньше студентов. Считать свои варианты можно в решателе пределов.

Идея: подходим к точке с двух сторон#

Обычный предел требует, чтобы функция стягивалась к одному числу с обеих сторон. Односторонний предел снимает это требование: слева смотрим только на точки $x<a$, справа — только на $x>a$. Модуль $|x|$ — классический источник расхождения: он раскрывается знакопеременно, и $\frac{|x|}{x}$ превращается слева в $-1$, справа в $1$. Тот же вопрос «с какой стороны» встаёт у корней с условием подкоренного выражения и у степенных функций с целочисленным показателем.

Классификация разрывов читается прямо по паре односторонних пределов, и это делает их подсчёт обязательной частью любой задачи про непрерывность.

Алгоритм: классификация за четыре шага#

1. 1
   Найдите подозрительные точки: нули знаменателя, границы модулей и кусочных заданий, точки, где аргумент уходит под корень или в показатель со знаком.
2. 2
   Подставьте точку в выражение; если значение определено и совпадает с пределами — разрыва нет, функция непрерывна.
3. 3
   Считайте ${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)$ и ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)$ по отдельности: раскройте модуль по знаку, а для $e^{1/x}$ посчитайте показатель отдельно с каждой стороны.
4. 4
   Сравните пару с таблицей: равные пределы — устранимый, разные конечные — скачок, бесконечность или отсутствие — второй род.

Разбор флагманского примера#

Считаем оба предела $\frac{|x|}{x}$ в нуле. Справа $x>0$, модуль раскрывается с плюсом, функция равна $1$ тождественно — предел $1$. Слева $x<0$, модуль даёт $-x$, функция равна $-1$ — предел $-1$. Оба конечны и различны: в точке $0$ скачок, разрыв первого рода. Сама функция в нуле не определена, но это не меняет диагноза — род разрыва определяется парой пределов, а не значением в точке.

Следующий случай хитрее: пределы совпадают, и на глаз функция кажется целой. Проверим.

Экспонента со знаменателем-ловушкой#

Самый яркий источник разрывов второго рода — $e^{1/x}$ в нуле. При $x\to 0^{+}$ показатель $\frac{1}{x}$ уходит в $+\infty$, и функция взлетает в $+\infty$. При $x\to 0^{-}$ показатель уходит в $-\infty$, и функция прижимается к нулю. Пара «$+\infty$ слева нет, справа бесконечность» — сразу второй род. Родственный пример $\mathrm{arctg}\frac{1}{x}$ даёт конечные пределы $\frac{\pi }{2}$ и $-\frac{\pi }{2}$ — то есть скачок. Разница между этими функциями — отличный тест на понимание: показательная взрывается, арктангенс насыщается.

Три типовые ошибки#

• Считать обычный предел у модуля без раскрытия знака: ${\lim }_{x\to 0}\frac{|x|}{x}$ не существует, хотя оба односторонних предела конечны.
• Путать устранимый разрыв с непрерывностью: доопределённая функция непрерывна лишь после поправки, а в исходном виде разрыв в точке есть.
• Записывать $e^{1/x}\to 1$ у нуля «по непрерывности». Показатель бесконечен, и односторонние пределы обязаны считаться раздельно.