Правило Лопиталя: как раскрывать неопределённости

Дробь $\frac{e^{3x}-1}{\ln (1+5x)}$ при $x\to 0$ — чистое $\frac{0}{0}$, и ни синусов для замечательных пределов, ни многочленов для деления на старшую степень тут не видно. Именно для таких случаев существует правило Лопиталя: вместо сравнения самих функций сравниваются их скорости — производные. Ниже алгоритм, три примера и места, где правило бессильно; проверить ручной счёт можно в решателе пределов.

Идея: сравниваем скорости, а не значения#

Основание — теорема Коши о среднем: раз обе функции обнуляются в точке $a$, их поведение рядом с ней определяется тем, кто быстрее набирает высоту. У экспоненты $e^{3x}-1$ скорость у нуля равна $3$, у логарифма $\ln (1+5x)$ — равна $5$, поэтому и отношение значений стягивается к $\frac{3}{5}$. Заметьте: дифференцируются числитель и знаменатель по отдельности, а не частное целиком — это разные вещи, и путать их нельзя.

Правило применимо к двум формам: $\frac{0}{0}$ и $\frac{\infty }{\infty }$, причём точка $a$ может быть и бесконечной. Остальные неопределённости — $0\cdot \infty$, $1^{\infty }$, $\infty -\infty$ — сначала приводятся к этим двум, а уж потом идут под производные.

Алгоритм: пять шагов#

1. 1
   Подставьте точку и подтвердите форму $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty }{\infty }$. Без этого шага правило применять нельзя.
2. 2
   Продифференцируйте числитель и знаменатель отдельно — как две самостоятельные функции.
3. 3
   Вычислите предел нового отношения. Если он существует (или равен $\infty$), это и есть ответ исходного предела.
4. 4
   Получили снова $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty }{\infty }$? Повторите производные. Двух-трёх раундов обычно достаточно.
5. 5
   Предел производных не существует (например, из-за осцилляции)? Правило молчит — переходите к эквивалентностям или алгебре.

Разбор флагманского примера#

Считаем ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^{3x}-1}{\ln (1+5x)}$. Шаг первый: обе части в нуле нулевые — форма $\frac{0}{0}$, Лопиталь легален. Шаг второй: $(e^{3x}-1{)}^{\prime }=3e^{3x}$, а ${\left(\ln (1+5x)\right)}^{\prime }=\frac{5}{1+5x}$. Шаг третий: ${\lim }_{x\to 0}\frac{3e^{3x}}{\frac{5}{1+5x}}=\frac{3\cdot 1}{5}=\frac{3}{5}$. Три строки, и ни одной лишней замены; тот же ответ даёт пара эквивалентностей $e^{3x}-1\sim 3x$, $\ln (1+5x)\sim 5x$ — какой путь быстрее, решать вам.

На бесконечности правило работает так же — убедимся на медленной логарифмической спирали.

Где Лопиталь буксует#

Первый подвох — зацикливание: для ${\lim }_{x\to \infty }\frac{x+\sin x}{x}$ производные дают $\frac{1+\cos x}{1}$, а этот предел не существует — синус дёргается. Исходный предел при этом равен $1$: достаточно разделить на $x$ и заметить, что $\frac{\sin x}{x}\to 0$. Правило молчит, алгебра — нет.

Второй подвох — подготовка форм. Для $0\cdot \infty$ переверните один из сомножителей: $x\ln x$ при $x\to 0^{+}$ превращается в $\frac{\ln x}{1/x}$, и вот уже законная форма $\frac{\infty }{\infty }$. Для $\infty -\infty$ приводите к общему знаменателю, для $1^{\infty }$ — берите экспоненту от произведения. Механика этих перестроек разобрана в уроке правило Лопиталя и на странице про неопределённости $1^{\infty }$, $0\cdot \infty$ и $\infty -\infty$.

Три типовые ошибки#

• Дифференцировать дробь как частное: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }\ne \frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}$. Правило Лопиталя требует двух независимых производных — числителя и знаменателя по отдельности.
• Применять правило без проверки формы. Если при подстановке выходит $\frac{1}{2}$ или $\frac{\infty }{0}$, производные ничего не дадут — предел считается напрямую.
• Тянуть Лопиталь до победного при несуществующем пределе производных. Осцилляция (синусы в дроби) — сигнал выйти из правила и упрощать алгебраически.