Правило Лопиталя: как раскрывать неопределённости

В 1696 году маркиз Гийом Лопиталь выпустил первый в истории учебник анализа — «Анализ бесконечно малых». Самой цитируемой его страницей оказалось правило, которое теперь носят его имя: как бороться с дробями, где и числитель, и знаменатель мчатся к нулю или к бесконечности. По легенде (почти документированной), метод был куплен у Иоганна Бернулли за регулярное жалованье. Имя осталось у покупателя — метод остался всем.

Формулировка и условия#

Пусть функции $f$ и $g$ дифференцируемы в окрестности точки $a$ (возможно, бесконечной), знаменатель и его производная не обнуляются, и обе функции стремятся одновременно к нулю или к бесконечности. Если существует предел отношения производных, то существует и предел отношения функций, причём они равны:

Условия проверяются до применения: сначала подстановка — убедиться, что вышло $\left[\frac{0}{0}\right]$ или $\left[\frac{\infty }{\infty }\right]$. Контрпример трезвости: ${\lim }_{x\to 0}\frac{x+2}{3}=\frac{2}{3}$ — обычный предел, никаких неопределённостей. А дерзкий студент применяет Лопиталя и получает $\frac{1}{1}=1$. Верно? Нет: метод не обязан давать верный ответ там, где его вообще нельзя звать.

Работа на примерах#

Простое: ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^{3x}-1}{\sin 2x}$. Подстановка даёт $\frac{0}{0}$ — можно. Дифференцируем: числитель $3e^{3x}$, знаменатель $2\cos 2x$. Предел $\frac{3}{2}$ — теперь уже подстановкой, без неопределённости.

Сложнее: неопределённости бывает нужно пробивать несколько раз подряд — после каждого дифференцирования заново проверяем форму.

Форма $\left[\frac{\infty }{\infty }\right]$ считается тем же правилом. Классика: ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\ln x}{x}=\lim \frac{1/x}{1}=0$ и ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x}{e^x}=\lim \frac{1}{e^x}=0$. Из этих двух примеров читается иерархия скоростей: логарифм медленнее степени, степень медленнее экспоненты. Запомните её — она дисциплинирует любую оценку на бесконечности.

Другие неопределённости: через логарифм#

Правило работает только с частным. Остальные формы сначала приводят к частному:

• $0\cdot \infty$: переписываем как дробь. ${\lim }_{x\to 0^{+}}x\ln x=\lim \frac{\ln x}{1/x}=\lim \frac{1/x}{-1/x^2}=\lim (-x)=0$
• $\infty -\infty$: привести к общему знаменателю или домножить на сопряжённое; иногда алгебра быстрее Лопиталя
• $1^{\infty }$, $0^0$, ${\infty }^0$: логарифмируем $y=f^g$: $\ln y=g\ln f$ — и снова $0\cdot \infty$

Разберём ${\lim }_{x\to 0^{+}}{x}^x$. Логарифм: $\ln y=x\ln x\to 0$ (только что посчитали). Значит $y\to e^0=1$. Функция, у которой и основание, и показатель стремятся к нулю, на самом деле прижимается к единице — интуиция такого не подсказывает, а вычисление даёт.

Когда Лопиталь не спасает#

Бывает, что метод ходит по кругу. Возьмём ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$. Подстановка даёт $\left[\frac{\infty }{\infty }\right]$ — дифференцируем: $\frac{1}{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$. Новая дробь — старая, перевёрнутая. Дифференцируем снова — возвращаемся назад. Цикл. Ответ тем временем прост: $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{1+1/x^2}}\to 1$ делением на $x$. Вывод: если после применения Лопиталя выражение не упростилось, вернитесь к алгебре — правило не обязано быть выгодным.

Потренировать неопределённости — в тренажёре пределов. А если хочется понимать, откуда у функций берутся такие точные приближённые значения, — следующий урок о формуле Тейлора.

Правило иногда решает задачи, которые пределами и не пахнут. Возьмём ${\lim }_{x\to 2}\frac{x^3-8}{x-2}$. Подстановка даёт $\frac{0}{0}$ — форма законная. Один заход Лопиталя: $\frac{3x^2}{1}\to 12$. Тот же ответ приносит разложение $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$ с подстановкой $x=2$: выходит $4+4+4=12$. Третий взгляд — определение производной куба в точке два: там ровно эта дробь, а таблица говорит $3\cdot 4=12$. Три дороги, одно число, выбирайте короткую на контрольной. Но запомните и резервную ценность правила: когда факторизация буксует или скобка не сокращается, Лопиталь вытягивает решение в одну строку — за это его и держат в инструментальном ящике до конца курса.

1. Форма проверяется подстановкой: вышло $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty }{\infty }$ — правило законно; иначе подстановка сама даёт ответ
2. Дифференцируем этажи по отдельности: числитель отдельно, знаменатель отдельно, правило частного отдыхает
3. После каждого захода упрощайте дробь — вынесенный множитель иногда снимает неопределённость без второго дифференцирования
4. Иерархия скоростей «логарифм — степень — экспонента» мгновенно отвечает на пределы вроде $\frac{\ln x}{x^2}$ и $\frac{x^5}{e^x}$: оба нули
5. Зациклилось — сигнал вернуться к алгебре: вынести старшую степень, домножить на сопряжённое, поделить числитель и знаменатель на $x$

Разберём с числами предел, где Лопиталь ходит дважды: ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1-2x}{x^2}$. Подстановка даёт $\frac{0}{0}$ — форма законная. Первый заход: $\frac{2e^{2x}-2}{2x}$ — снова ноль над нулём. Второй: $\frac{4e^{2x}}{2}$, и подстановка приносит $2$. Заметьте дисциплину: после каждого дифференцирования мы заново проверяли форму, а не тащили дальше устаревшую дробь. Проверка Тейлором: экспонента разворачивается в $1+2x+2x^2+\dots$, числитель обрезается до $2x^2$, дробь даёт $2$ — совпало. Два независимых инструмента, одно число: на контрольной такой кросс-чек занимает полминуты. Множители здесь нарочно «двойные» — они проверяют, держите ли вы в голове производную экспоненты с коэффициентом, самую частую потерю в этой серии. Если же после второго захода дробь не упростилась и форма всё висит, вернитесь на шаг: чаще всего где-то потерян множитель два.

Соберём иерархию скоростей в серию прикидок, которую можно проверять подстановкой. Между логарифмом и корнем побеждает корень: предел их отношения — ноль, квиз выше это показал. Между корнем и кубом побеждает куб — достаточно вынести старшую степень, Лопиталь даже не понадобится. Между кубом и экспонентой побеждает экспонента, и вот где счёт нагляден: при x равном пяти экспонента уже под полтораста, а куб — ста двадцати пяти; к десяти разрыв становится унизительным — двадцать с лишним тысяч против тысячи. Правило одной строки: среди степеней побеждает старшая, а против экспоненты не выживает ничто. Проверьте пару значений на калькуляторе — полминуты, а уверенности прибавляется больше, чем от перечитывания формул.