Теоремы о среднем: Ферма, Ролль, Лагранж

Поездка заняла два часа, маршрут — 180 км. Средняя скорость 90 км/ч. Спорить тут не о чем: в какой-то момент спидометр показывал ровно 90 — иначе итог не сложился бы. Этот бытовой факт — теорема Лагранжа, и вокруг него вырастает целый этаж анализа: теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Их называют теоремами о среднем, потому что все они ловят точку, где функция ведёт себя «в среднем как всюду».

Теорема Ферма: вершины плоские#

Пусть $x_0$ — внутренняя точка области определения, и функция имеет в ней локальный экстремум: в некоторой окрестности все значения не больше (или не меньше) $f(x_0)$. Если производная в этой точке существует, то она равна нулю:

Идея доказательства в одну фразу: справа от вершины разностное отношение неположительно, слева — неотрицательно, а в пределе оба съезжаются к одному числу, которому остаётся только ноль. Геометрия: на гладкой вершине касательная горизонтальна. Важная оговорка — оба условия нужны. У $f(x)=|x|$ в нуле минимум есть, а производной нет: излом, теорема Ферма молчит. А $f(x)=x^3$ имеет горизонтальную касательную в нуле, но никакого экстремума там нет — условие даёт возможность, а не гарантию.

Теорема Ролля: равные концы#

Формулировка. Пусть функция $f$: непрерывна на отрезке $[a,b]$, дифференцируема внутри $(a,b)$ и на концах принимает равные значения: $f(a)=f(b)$. Тогда найдётся точка $c\in (a,b)$, в которой $f^{\prime }(c)=0$.

Логика без формул: раз концы на одной высоте, где-то между ними функция либо горб (максимум), либо яма (минимум) — или оба. Горб и яма — внутренние экстремумы, а там по Ферма производная обнуляется. Проверим на функции $f(x)=x^3-3x$ на отрезке $[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$: значения на концах $f(\pm \sqrt{3})=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0$ — равные. Производная $f^{\prime }(x)=3x^2-3$ обнуляется при $x=\pm 1$, обе точки лежат внутри отрезка. Теорема обещала одну точку — дала даже две.

Теорема Лагранжа: хорда и касательная#

Снимем условие равных концов — получим главную теорему курса. Пусть $f$ непрерывна на $[a,b]$ и дифференцируема на $(a,b)$. Тогда найдётся $c\in (a,b)$ такое, что

Справа — наклон хорды, соединяющей концы графика; слева — наклон касательной. Теорема говорит: найдётся точка, где касательная параллельна хорде. Вернувшись к поездке: $f(b)-f(a)$ — пройденный путь, $b-a$ — время, частное — средняя скорость, $f^{\prime }(c)$ — мгновенная. Хотя бы один раз спидометр показал среднюю. Доказательство изящно: к $f$ прикладывают секущую-«крышку» и применяют Ролля к разности функции и крышки.

Численный пример: $f(x)=\sqrt{x}$ на отрезке $[0,4]$. Наклон хорды: $\frac{\sqrt{4}-\sqrt{0}}{4-0}=\frac{1}{2}$. Производная $f^{\prime }(c)=\frac{1}{2\sqrt{c}}$; приравниваем к $\frac{1}{2}$: $\sqrt{c}=1$, $c=1$. Точка нашлась внутри интервала — формула конечных приращений сработала буквально. Условия применимости и следствия собраны в статье теорема Лагранжа.

Следствия, ради которых всё затевалось#

• $f^{\prime }>0$ на интервале $⟹f$ возрастает: для любых двух точек наклон хорды положителен по Лагранжу
• $f^{\prime }\equiv 0$ на интервале $⟹f$ постоянна: любая хорда горизонтальна
• $f^{\prime }=g^{\prime }$ всюду $⟹f=g+C$: функции отличаются константой — база интегралов
• оценка: если $|f^{\prime }|\le M$, то $|f(b)-f(a)|\le M|b-a|$ — приращение не выскочит за скорость, умноженную на путь

Четвёртый пункт объясняет, почему $|\sin a-\sin b|\le |a-b|$: производная синуса — косинус, чей модуль не превосходит единицы. А первый пункт даёт рабочую схему для уравнений: у $x^3+x+c$ производная $3x^2+1$ строго положительна, функция строго возрастает, значит, уравнение $x^3+x+c=0$ имеет не более одного корня — а по непрерывности он есть, ведь кубическая функция уходит в разные бесконечности. Один корень, найденный честно, — единственный.

Рядом стоит теорема Коши — то же Лагранжево утверждение для пары функций $f$ и $g$: найдётся точка, где $\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$. Она выглядит скромнее, чем заслуживает: именно из неё на следующем шаге курса выводится правило Лопиталя; словарная статья правило Лопиталя держит формулировку под рукой.

Разминка на теоремы и монотонность — в тренажёре производных; нужные формулы — в шпаргалке. Дальше — приём, превращающий неопределённости в рутину: правило Лопиталя.

Ещё один числовой прогон, чтобы формула Лагранжа стала рабочим инструментом, а не заклинанием. Берём $f(x)=\ln x$ на отрезке $[1,e]$. Наклон хорды: $\frac{\ln e-\ln 1}{e-1}=\frac{1}{e-1}\approx 0.58$. Производная $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$; приравниваем: $\frac{1}{c}=\frac{1}{e-1}$, откуда $c=e-1\approx 1.72$. Точка оказалась внутри интервала $(1,e)$ — теорема сдержала обещание. Условия прогоните сами: непрерывность на отрезке есть, дифференцируемость внутри есть. Геометрически: касательная к логарифму, проведённая из точки $1.72$ с наклоном $0.58$, параллельна хорде, соединяющей концы графика. Приятно и то, что число нашлось без всякого подгона — честно выпало из уравнения.

1. Формулировка в одну фразу: «найдётся точка, где касательная параллельна хорде»; хорду задают концы, касательную ищем внутри
2. Ролль — частный случай Лагранжа: равные значения на концах делают хорду горизонтальной, а вместе с ней и касательную
3. Порядок решения: проверить условия, посчитать наклон хорды, решить уравнение «$f^{\prime }(c)$ равен наклону» и убедиться, что корень попал в открытый интервал
4. Физическая расшифровка держит смысл крепче символов: средняя скорость за поездку когда-то была мгновенной
5. Карманная версия для контрольной: если $|f^{\prime }|\le M$, то $|f(b)-f(a)|\le M\cdot |b-a|$ — оценка приращения без единого вычисления

Следствие о монотонности решает уравнения без единого преобразования. Возьмём $x^5+x=1$. Левая часть строго растёт: её производная $5x^4+1$ не бывает меньше единицы, значит, горизонтальная прямая пересечёт график максимум один раз. Существование приносит непрерывность: в нуле левая часть равна нулю — меньше единицы, в единице равна двум — больше; где-то между обязано быть пересечение. Число тоже ловится легко: подстановка $x=0.755$ даёт $0.755^5+0.755\approx 0.245+0.755=1.000$ — корень найден с точностью до третьего знака, и монотонность гарантирует сторону промаха: влево не хватит, вправо будет перебор. Один корень за минуту — типичный бонус теорем о среднем в задачах, где формулы корней просто не существует. Прикиньте сами: уравнение $x^3+x=5$ решается тем же протоколом, и корень тоже единственный. И проговорите условия вслух: непрерывность на отрезке, дифференцируемость внутри — у кубической функции оба очевидны, но привычка проверять должна пережить очевидность.