Теорема Лагранжа

Из Москвы во Владимир — 180 км за 3 часа, средняя скорость 60 км/ч. Спидометр показывал ровно 60 хоть раз? Теорема Лагранжа (о конечных приращениях, она же теорема о среднем значении) утверждает: показывал — обязательно. В форме для математики: если $f$ непрерывна на отрезке $[a;b]$ и дифференцируема внутри него, найдётся точка $c\in (a;b)$, где мгновенная скорость изменения в точности равна средней по отрезку. Абстрактно? Ничего подобного — это самая «физическая» теорема первого семестра.

Геометрия делает формулу почти очевидной. Проведём хорду между точками графика с абсциссами $a$ и $b$: её наклон — ровно $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Теперь двигаем параллельную ей прямую снизу, пока она не коснётся графика: момент касания и есть $c$, касательная параллельна хорде. Почему касание гарантировано? Возьмём $g(x)=f(x)$ минус линейная функция хорды: на концах отрезка $g$ обращается в нуль, и по теореме Ролля у неё есть точка с нулевой производной. Лагранж — это Ролль без условия $f(a)=f(b)$: просто мир наклонили.

Числовой прогон: $f(x)=x^2$ на $[1;4]$. Средний наклон: $(16-1)/3=5$. Производная $2x$ равна пяти при $x=2.5$ — точка внутри отрезка, всё честно. Из теоремы выжимают следствия, без которых не обходится исследование функции: если $f^{\prime }\equiv 0$ на интервале, функция постоянна; знак производной закрепляет монотонность; линейное приближение $f(x)\approx f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$ получает честную оценку. Условия — не придирка: у модуля $|x|$ на $[-1;1]$ приращение нулевое, но ни одна точка графика не имеет горизонтальной касательной — производной в нуле просто нет.

Где теорема живёт в программе — урок теоремы о среднем с доказательствами и разбором Ролля; смежная техника — в правилах дифференцирования. Определение производной — в глоссарии. Применение к графикам — разбор как решать экстремумы и урок исследование функции; производные под рукой — шпаргалка-таблица.