Правила дифференцирования: сумма, произведение, частное

Считать каждую производную через предел — как ходить в магазин за хлебом в другой город: возможно, но бессмысленно. Определение один раз породило таблицу и набор правил, и дальше функции комбинируются механически. В этом уроке — весь конструктор: как дифференцировать суммы, произведения и частные, откуда берутся обратные функции и где теряются баллы на контрольных.

Сумма, разность и константа#

Простейшие правила — линейность. Дифференцирование уважает сложение и умножение на число:

Здесь $u$ и $v$ — дифференцируемые функции, $c$ — константа. Словами: производная суммы равна сумме производных, а множитель-константу можно вынести наружу. Пример в одну строку: $(x^3+4\sin x-7{)}^{\prime }=3x^2+4\cos x$. Константа $-7$ исчезла — у постоянной функции изменения нет, её скорость всегда ноль. Запомните зеркальное правило: константа выносится, а вот производная константы — ноль, это разные утверждения, и путать их не стоит.

Произведение и частное#

Здесь интуиция подводит: производная произведения — не произведение производных. Правильные формулы (Лейбниц и частное):

Почему у произведения два слагаемых? Считаем честно через приращения: $\Delta (uv)=u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)$. Прибавим и вычтем в середине $u(x+\Delta x)v(x)$ — хитрость, которая появляется на лекциях внезапно. Получится $\Delta u\cdot v+u(x+\Delta x)\cdot \Delta v$. Делим на $\Delta x$ и устремляем к нулю: первое слагаемое даёт $u^{\prime }v$, второе — $u{v}^{\prime }$, потому что $u(x+\Delta x)$ стремится к $u(x)$ по непрерывности. Маленький член $\Delta u\Delta v$ второго порядка гаснет первым.

Пример на произведение: $(x^2{e}^x{)}^{\prime }=2x{e}^x+x^2{e}^x=e^x(x^2+2x)$. На частное: ${\left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right)}^{\prime }=\frac{2x(x^2+1)-(x^2-1)\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{4x}{(x^2+1{)}^2}$. В числителе многое сократилось — это нормально, частное любит щедрые упрощения.

Правила комбинируются свободно: в одной задаче может понадобиться и произведение, и частное. Разберём $f(x)=\frac{x{e}^x}{x^2+1}$ — числитель сам просит правило произведения, а поверх него ложится частное. Такие сборные конструкции — стандарт контрольной работы, поэтому пройдём всё по шагам, не пропуская ни скобки.

1. 1
   Числитель по Лейбницу: $(x{e}^x{)}^{\prime }=1\cdot e^x+x\cdot e^x=e^x(x+1)$
2. 2
   Правило частного: $f^{\prime }=\frac{e^x(x+1)(x^2+1)-x{e}^x\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}$
3. 3
   Выносим $e^x$ за скобку и раскрываем: $(x+1)(x^2+1)-2x^2=x^3+x^2+x+1-2x^2=x^3-x^2+x+1$
4. 4
   Итог: $f^{\prime }(x)=\frac{e^x(x^3-x^2+x+1)}{(x^2+1{)}^2}$
5. 5
   Численный контроль: при $x=0$ формула даёт $1$; через малое приращение $\frac{f(0.001)-f(0)}{0.001}\approx 1.001$ — совпадение

Обратите внимание на предпоследний шаг: без вынесения $e^x$ и сокращений формула пугает, после — занимает одну строку. На контрольной за неряшливые скобки теряют больше баллов, чем за незнание правил: минус в числителе частного особенно любит переворачивать ответ. Сверьте себя со здравым смыслом: производная положительна там, где функция растёт. Наша $f$ около нуля растёт — и $f^{\prime }(0)=1>0$. Правила — это грамматика: выучив её, вы читаете любую формулу без страха.

Числовой пример: выручка как произведение#

Где правило произведения зарабатывает деньги? В экономике. Пусть магазин торгует одним товаром: цена $p(t)=100-2t$ рублей (каждый день дешевеет на два), а объём продаж $q(t)=50+t$ штук (каждый день растёт на штуку). Выручка — произведение цены и объёма: $R(t)=p(t)\cdot q(t)$. Вопрос: растёт она или падает к десятому дню? Интуиция разводит руками — цена вниз, продажи вверх. Производная отвечает точно.

1. 1
   Данные: $p(t)=100-2t$, $q(t)=50+t$; производные $p^{\prime }=-2$, $q^{\prime }=1$
2. 2
   Правило: $R^{\prime }(t)=p^{\prime }(t)q(t)+p(t)q^{\prime }(t)$
3. 3
   Числа при $t=10$: цена $80$, объём $60$
4. 4
   Подставляем: $R^{\prime }(10)=-2\cdot 60+80\cdot 1=-120+80=-40$ рублей в день
5. 5
   Контроль: $R(t)=(100-2t)(50+t)=5000-2t^2$, значит $R^{\prime }(t)=-4t$ и $R^{\prime }(10)=-40$ — совпало

Два слагаемых расщепили эффект на понятные части: $-120$ — потери от удешевления всего объёма, $+80$ — прирост от дополнительных штук. Баланс отрицателен, значит, к десятому дню выручка течёт вниз по 40 рублей ежедневно. Заметьте: ни одно из слагаемых само по себе не равно производной выручки — только сумма даёт верный ответ. Именно на этом этапе контрольной работы школьная привычка «перемножить производные» стоит дороже всего.

Обратные функции: арки#

Производная обратной функции — обратная величина: если $y=f(x)$ и $x=g(y)$, то $g^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$. Логика простая: скорость туда и скорость обратно взаимно переворачиваются. На этом строится дифференцирование арок. Возьмём $y=\arcsin x$, то есть $\sin y=x$. Дифференцируем обе части: $\cos y\cdot y^{\prime }=1$, откуда $y^{\prime }=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ — косинус выражаем через синус, а знак выбираем положительный, потому что угол арксинуса живёт в $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$, где косинус неотрицателен.

• $(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, $(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ — знаки противоположны
• $(\mathrm{arctg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$, $(\mathrm{arcctg}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$
• графики парных арок зеркальны относительно $y=x$ — и производные это отражают

Разберём арктангенс тем же методом. Пусть $y=\mathrm{arctg}x$, тогда $\mathrm{tg}y=x$. Дифференцируем обе части: $\frac{y^{\prime }}{{\cos }^{2}y}=1$, откуда $y^{\prime }={\cos }^{2}y$. Осталось выразить косинус через тангенс: ${\cos }^{2}y=\frac{1}{1+{\mathrm{tg}}^{2}y}=\frac{1}{1+x^2}$. Никакой магии — только школьное тождество $1+{\mathrm{tg}}^{2}y=\frac{1}{{\cos }^{2}y}$, приложенное к обратной функции.

• «Произведение — сумма, частное — разность»: в произведении слагаемые складываются, в числителе частного стоит минус
• Константу выносим, производная константы — ноль: $(7x^3{)}^{\prime }=21x^2$, а вот $(7{)}^{\prime }=0$
• Дробь вида $\frac{1}{g}$ дифференцируется правилом частного, а быстрее — как степень $g^{-1}$
• Перед дифференцированием упростите: $(x^3-x)+x$ честнее сначала свернуть в $x^3$
• После дифференцирования сократите: у частного почти всегда общий множитель в числителе
• Сомневаетесь — подставьте число: неверный знак или пропавший множитель видно на одной точке
• Производная суммы — сумма производных, а вот произведение и частное живут по своим правилам

Мини-таблица на каждый день#

Таблицу выше стоит носить в голове, полную — в закладках: шпаргалка по таблице производных. Определение, из которого всё это выросло, разобрано в уроке о производной, а сам термин — в словаре.

Потренировать комбинации правил можно в тренажёре производных. Следующий уровень сложности — функции-матрёшки: им посвящён урок о цепном правиле.