Производная сложной функции: цепное правило

Обменник: у вас рубли, а нужны доллары. Курс рубль→евро умножаем на курс евро→доллар — и вся математика обмена готова. Функции устроены так же: одна внутрь другой вставляется, и их «скорости» перемножаются. Это цепное правило — самый используемый инструмент дифференцирования: без него не посчитать ни $\sin 5x$, ни $e^{-x^2}$, ни расширяющуюся популяцию с квадратичным замедлением.

Что такое сложная функция и цепное правило#

Функция называется сложной (композицией), если аргумент одной функции — результат другой: $f(g(x))$. Внутри $\sin 5x$ сидит линейная функция $g(x)=5x$; в $\ln (x^2+1)$ — парабола; в $e^{-x^2}$ — квадрат с минусом. Правило дифференцирования:

Читаем: производная внешней функции, вычисленная во внутреннем аргументе, умножается на производную внутренней функции. Формулируют и так: «снимаем слои снаружи внутрь, перемножая результаты». Шестерёнки сцеплены: если большая крутится втрое быстрее малой, а малая — вдвое быстрее стрелки, то большая быстрее стрелки в шесть раз. Скорости перемножаются — отсюда и точка в правиле.

Алгоритм: от внешнего к внутреннему#

1. 1
   Внешняя функция — экспонента: её производная равна ей самой, аргумент не трогаем
2. 2
   Следующий слой: $\sin 2x$, его производная — $\cos 2x\cdot (2x{)}^{\prime }=2\cos 2x$
3. 3
   Собираем: $f^{\prime }(x)=e^{\sin 2x}\cdot 2\cos 2x=2\cos 2x\cdot e^{\sin 2x}$
4. 4
   Контроль числом: при $x=0$ получаем $f^{\prime }(0)=2$ — как у $e^{2x}$, ведь вблизи нуля $\sin 2x\approx 2x$

Тренировочная пятёрка, которую стоит прогнать вслух:

• $(\sin 5x{)}^{\prime }=5\cos 5x$ — внешняя синус, внутренняя $5x$
• $(\ln (x^2+1){)}^{\prime }=\frac{2x}{x^2+1}$ — логарифм от параболы
• $(e^{-x^2}{)}^{\prime }=-2x{e}^{-x^2}$ — знаменитая гауссова шапка
• $(\sqrt{x^2+4}{)}^{\prime }=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$ — корень от квадратного трёхчлена
• $({\cos }^{3}x{)}^{\prime }=3{\cos }^{2}x\cdot (-\sin x)=-3\sin x{\cos }^{2}x$ — степень от косинуса

Многослойные матрёшки#

Слоёв бывает сколько угодно — правило применяется последовательно, на каждом слое свой множитель. Возьмём $f(x)=\sqrt{1+{\sin }^{2}3x}$: снаружи корень, внутри квадрат синуса, внутри которого $3x$. Производная: $\frac{1}{2\sqrt{1+{\sin }^{2}3x}}\cdot 2\sin 3x\cdot \cos 3x\cdot 3$. Три множителя — три слоя. Проверка здравым смыслом: сложность ответа совпала со сложностью входа.

Логарифмическое дифференцирование: случай $x^x$#

Функция $y=x^x$ не подпадает ни под одно правило: переменная стоит и в основании, и в показателе. Приём: прологарифмируем — $\ln y=x\ln x$, дифференцируем обе части (слева — сложная функция, $\frac{y^{\prime }}{y}$):

Тот же приём спасает, когда функция — произведение многих множителей или степень с функцией в показателе, например $(x^2+1{)}^{\sin x}$. Логарифм превращает произведение в сумму, степень — в произведение, и правила дифференцирования снова работают. Общий принцип: сначала упростить структуру, потом дифференцировать.

После матрёшек логично спросить: а можно ли дифференцировать производную? Можно — и не один раз: об этом урок о производных высших порядков. Таблицу производных для повторения держите под рукой: шпаргалка.

Числовой прогон, который стоит сделать руками. Пусть $f(x)=(2x^3-5{)}^6$ и ищется $f^{\prime }(1)$. Внешний слой — шестая степень, её производная $6u^5$; внутренний — куб $u(x)=2x^3-5$, его производная $u^{\prime }=6x^2$. Цепное правило перемножает их: $f^{\prime }(x)=36x^2(2x^3-5{)}^5$. Теперь точка. Внутренняя функция: $u(1)=2-5=-3$, пятая степень $(-3{)}^5=-243$. Внешний множитель: $36\cdot 1^2=36$. Ответ: $f^{\prime }(1)=36\cdot (-243)=-8748$. Минус честный: при $x=1$ внутренний куб отрицателен, и хоть он и растёт, шестая степень отрицательного числа пока убывает. Заодно найдите, где производная обнуляется: $f^{\prime }(x)=0$ при $x=0$ и при $2x^3=5$, то есть $x\approx 1.36$; до этой точки график идёт вниз, после — вверх.

1. На каждом слое спрашивайте: «какое действие выполняется последним?» — оно и есть внешний слой; в $\sqrt{1+\ln x}$ это корень, а в $\ln (1+\sqrt{x})$ — логарифм
2. Слои перемножаются, а не складываются: три вложенные функции — три сомножителя в ответе, и потеря любого видна при числовой проверке в одной точке
3. Линейная начинка $kx+b$ даёт множитель $k$ — поэтому $(\cos 7x{)}^{\prime }=-7\sin 7x$, и семёрка теряется чаще всех констант курса
4. Проговаривайте цепочку вслух: «производная внешнего по внутреннему, умножить на производную внутреннего»; механическое чтение держит слои в голове крепче зрительной памяти
5. Проверяйте знак и размерность: если $f$ измеряется в метрах, $f^{\prime }$ — в метрах на единицу аргумента, и множители от внутренних функций обязаны это обеспечить

Цепное правило живёт и за пределами задачников. Шар надувают так, что радиус растёт по закону $R(t)=1+0.5t$ сантиметров, где $t$ — секунды. Объём шара $V=\frac{4}{3}\pi R^3$, вопрос: с какой скоростью вливается воздух? Скорость изменения объёма — производная сложной функции: $\frac{dV}{dt}=4\pi R^2\cdot R^{\prime }(t)$. Множитель $4\pi R^2$ — производная объёма по радиусу, $R^{\prime }(t)=0.5$ см/с — скорость самого радиуса. В момент $t=2$ радиус равен $1+1=2$ см, и воздух прибывает со скоростью $4\pi \cdot 4\cdot 0.5=8\pi \approx 25.1$ см³/с. Вопрос «объём от времени» распакован через «объём от радиуса» и «радиус от времени» — та же матрёшка, что и в чистой алгебре; физическая сторона производной собрана в термине «производная».

Числовая проверка вылавливает потерянные слои бесплатно. Возьмём матрёшку $\sin (x^2)$ в точке $1.5$. Формула цепного правила даёт два икс на косинус от икс в квадрате, то есть три на косинус от $2.25$. Косинус от $2.25$ радиана равен минус $0.628$, умножаем на три — минус $1.88$. Теперь та же производная по определению: сдвигаем точку на одну тысячную и делим приращение функции на приращение аргумента. Синус в точке $1.5$ равен $0.778$, в точке $1.501$ — уже $0.776$; приращение минус $0.00188$, делённое на $0.001$, — снова минус $1.88$. Совпадение до двух знаков — билет, что все слои учтены. Если бы внутренняя производная потерялась, численная дробь показала бы минус $0.63$ вместо минус $1.88$: расхождение в три раза не заметить невозможно. Одна строка проверки стоит дороже любой мнемоники.

Соберём финальную мини-задачу без всяких вложений — на чтение знака и единиц. Датчик показывает, что площадь нагрева конфорки меняется по закону S(t) = 100 − 4t + t² (квадратные сантиметры, время в секундах). С какой скоростью площадь убывает в момент t = 1? Производная равна минус четыре плюс два t, в единице — минус два: площадь тает со скоростью два квадратных сантиметра в секунду. В t = 2 производная обнуляется — площадь на мгновение замирает, дальше растёт. Каждое число здесь берётся обычной табличной производной, но навык один и тот же: минус означает убывание, а квадратные сантиметры в секунду — скорость площади, и никак иначе. Проговорите единицы измерения вслух — и половина ошибок на контрольной просто не случится.