Как решать интегралы

Интеграл пугает разнообразием: в таблице десятки формул, и непонятно, с какой стороны заходить. Секрет в том, что почти весь неопределённый интеграл сводится к четырём методам: прямое интегрирование, замена переменной, интегрирование по частям и разложение рациональных дробей. Задача решается не столько «вычислением», сколько правильным распознаванием типа — этому и учит алгоритм ниже. Теория — в уроке неопределённый интеграл.

Прежде чем выбирать метод, приведите подынтегральную функцию в порядок: раскройте скобки, разделите дробь на сумму дробей ($\frac{1+x}{x}=1+\frac{1}{x}$), вынесите константы, перепишите корни как степени ($\sqrt{x}=x^{1/2}$). Половина «страшных» интегралов после такой уборки падает прямо в таблицу.

Алгоритм: распознаём тип интеграла#

1. 1
   Табличный вид? Степенная, $\frac{1}{x}$, $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $\frac{1}{x^2+a^2}$ — доведите выражение алгеброй до табличного и интегрируйте напрямую.
2. 2
   Есть множителем производная внутренней функции? Делайте замену $t=\phi (x)$, $dt={\phi }^{\prime }(x)dx$. Классика: $\int x{e}^{x^2}dx$ — рядом с $e^{x^2}$ стоит его производная-«подсказка» $2x$ (здесь даже с коэффициентом).
3. 3
   Произведение разнородных функций — многочлен на $e^{kx}$, $\sin kx$, $\cos kx$? Интегрируйте по частям, за $u$ берите многочлен: дифференцирование делает его проще.
4. 4
   Одиноко стоят $\ln x$, $\arcsin x$, $\arctan x$? Тоже по частям, но теперь за $u$ идёт сама функция — у неё нет табличного интеграла, зато производная простая.
5. 5
   Дробно-рациональное $\frac{P(x)}{Q(x)}$? Выделите целую часть и разложите на простейшие дроби — каждая интегрируется таблично (логарифмы и арктангенсы в ответе — норма).
6. 6
   Степени и произведения тригонометрии, корни вида $\sqrt{a^2\pm x^2}$? Нечётная степень — отщепите один множитель и замените; чётная — понизьте степень; корни — тригонометрические подстановки. Для определённого интеграла после замены не забудьте пересчитать пределы.

Замена — метод номер один по частоте, и у неё есть явные сигналы: рядом с функцией от $\phi (x)$ стоит (с точностью до константы) её производная. Примеры, на которых сигнал виден:

• $\int \frac{\ln x}{x}dx$: внутренняя $\ln x$, её производная $\frac{1}{x}$ стоит рядом — замена $t=\ln x$ даёт $\int tdt$
• $\int \tan xdx$: перепишите как $\int \frac{\sin x}{\cos x}dx$ — внутренняя $\cos x$, её производная $-\sin x$ в числителе
• $\int \frac{dx}{x\ln x}$: та же замена $t=\ln x$ собирает двойной логарифм $\ln |\ln x|+C$
• константы не мешают: недостающий множитель можно внести и тут же вынести из интеграла

Пример решения интеграла по шагам#

Эталонный «по частям»: $\int x\cos xdx$. Многочлен умножается на тригонометрию — метод виден с первого взгляда, остаётся аккуратно исполнить формулу.

1. 1
   Распознавание: произведение многочлена $x$ на $\cos x$. Замена не сработает (производная $x$ — единица, новой переменной не собрать), значит — по частям.
2. 2
   Выбор ролей: $u=x$ (при дифференцировании упростится до единицы), $dv=\cos xdx$.
3. 3
   Дифференцируем и интегрируем: $du=dx$, $v=\sin x$.
4. 4
   Формула $\int udv=uv-\int vdu$ даёт $\int x\cos xdx=x\sin x-\int \sin xdx$.
5. 5
   Оставшийся интеграл табличный: $\int \sin xdx=-\cos x$. Итог: $\int x\cos xdx=x\sin x+\cos x+C$.
6. 6
   Проверка дифференцированием: $(x\sin x+\cos x{)}^{\prime }=\sin x+x\cos x-\sin x=x\cos x$. Сошлось — ответ верен.

Привычка проверять ответ дифференцированием — валюта этой темы: интеграл можно взять криво, но производная от неверной первообразной не совпадёт с подынтегральной функцией. На проверку уходит полминуты, а ловит она почти всё: потерянные коэффициенты, знаки, забытые множители внутренней функции.

Для определённого интеграла маршрут тот же, плюс финал — формула Ньютона—Лейбница: ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$, где $F$ — любая первообразная. Наш пример на отрезке $[0,\pi /2]$: $(x\sin x+\cos x){|}_0^{\pi /2}=\frac{\pi }{2}-1$. Константа $C$ при подстановке пределов сокращается, поэтому её можно не писать вовсе.

Куда дальше: все приёмы на одном листе — в шпаргалке по методам интегрирования, базовые формулы — в таблице интегралов, набить руку — в тренажёре интегралов. Термин интеграл разобран в словаре, а для дифференцирования первообразных пригодится разбор как решать производные.