Как решать системы линейных уравнений

Система линейных уравнений (СЛАУ) — это несколько уравнений, которые должны выполняться одновременно: $a_{1}x+b_{1}y=c_1$ и $a_{2}x+b_{2}y=c_2$. Каждое уравнение — прямая на плоскости, а решение — точка, где эти прямые пересекаются. Поэтому возможны ровно три судьбы системы: единственное решение (прямые пересеклись), решений нет (параллельные прямые), решений бесконечно много (прямые совпали). Задача любого метода — не просто найти числа, а честно определить, какой из трёх случаев перед вами.

Методов три, и выбор обычно диктует условие. Метод Гаусса — универсал: работает для любого числа уравнений и неизвестных, включая прямоугольные системы. Метод Крамера — спринтер: короткий и удобный для квадратных систем $2\times 2$ и $3\times 3$ с ненулевым определителем. Матричный метод ($X=A^{-1}B$) выгоден, когда одной и той же матрицей задано несколько систем с разными правыми частями. Подробно все три разобраны в уроке метод Гаусса и в уроке Крамер и матричный метод, а здесь — рабочие алгоритмы.

Как решить систему уравнений: алгоритм по шагам#

1. 1
   Выпишите расширенную матрицу системы: слева коэффициенты при неизвестных, за вертикальной чертой — правые части. Дальше работаем только со строками этой матрицы.
2. 2
   Проверьте ведущий элемент: если $a_{11}=0$, переставьте строки так, чтобы в левом верхнем углу стояло ненулевое число. Перестановка строк не меняет множество решений — это разрешённый ход.
3. 3
   Прямой ход, первый столбец: для каждой строки ниже ведущей выполните $R_i\to R_i-\frac{a_{i1}}{a_{11}}{R}_1$ — строка минус подходящий множитель первой строки. Первый столбец под ведущим обнулился.
4. 4
   Сдвиньтесь на столбец и строку вправо-вниз и повторяйте, пока матрица не станет ступенчатой (треугольной). Ненулевой ведущий на каждом шаге — обязательное условие: ноль на диагонали требует перестановки строк.
5. 5
   Проверьте совместность по рангам: если в ходе преобразований появилась строка вида $0=c$ при $c\ne 0$ — система несовместна, решений нет. Если ранг матрицы равен числу неизвестных — решение единственное. Если ранг меньше — решений бесконечно много, и свободные неизвестные объявляются параметрами.
6. 6
   Обратный ход: из последнего уравнения найдите последнюю неизвестную, подставьте её в предпоследнее, найдите следующую — и так поднимайтесь до первой строки.
7. 7
   Проверка: подставьте найденные значения во все исходные уравнения. Десять секунд арифметики стоят дешевле минуса за потерянный знак.

Пример решения системы уравнений#

Решим системой Гаусса: $x+2y=5$, $3x+4y=11$. Система квадратная $2\times 2$, так что ответ легко будет перепроверить и Крамером — полезно видеть, что методы сходятся.

1. 1
   Расширенная матрица: $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 5\\ 3& 4& 11\end{array}\right)$. Ведущий элемент $1\ne 0$ — перестановка не нужна.
2. 2
   Прямой ход: $R_2\to R_2-3R_1$. Вторая строка: $(3-3,4-6,11-15)=(0,-2,-4)$. Строку записываем целиком и аккуратно — именно здесь чаще всего теряется минус.
3. 3
   Матрица ступенчатая: $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 5\\ 0& -2& -4\end{array}\right)$. Строки вида $0=c$ нет — система совместна; ранг равен двум, неизвестных тоже два — решение единственное.
4. 4
   Обратный ход: из второй строки $-2y=-4$, значит $y=2$. Подставляем в первую: $x+2\cdot 2=5$, откуда $x=1$.
5. 5
   Проверка: $1+2\cdot 2=5$ — верно; $3\cdot 1+4\cdot 2=11$ — верно. Ответ: $x=1$, $y=2$.

Для квадратных систем того же результата можно достичь короче — по правилу Крамера: каждая неизвестная равна отношению определителя с заменённым столбцом к главному определителю.

На нашем примере: $\Delta =1\cdot 4-3\cdot 2=-2$, $x=(5\cdot 4-11\cdot 2)/(-2)=1$, $y=(1\cdot 11-3\cdot 5)/(-2)=2$ — совпало с Гауссом, как и должно быть. Если $\Delta =0$, Крамер молча ломается: либо решений нет, либо их бесконечно много — различать эти случаи придётся Гауссом и рангами (что такое ранг — в уроке ранг матрицы).

Что дальше: полный курс теории — в уроке метод Гаусса, термин со связками — в статье метод Гаусса, операции над матрицами, через которые живёт матричный метод, — в уроке матрицы и операции. Определители для Крамера — в руководстве как решать матрицы и определители. Набить руку — в тренажёре по матрицам.