Метод Гаусса

Метод Гаусса — самый надёжный способ решения систем линейных уравнений: неизвестные выбиваются по очереди, пока в нижней строке не останется одно уравнение с одной переменной. Секрет популярности прост — никаких догадок, только два вида шагов, и работает алгоритм с системой любого размера: три неизвестных, десять — без разницы, маршрут один. Записываем расширенную матрицу (см. матрица) — таблицу коэффициентов плюс столбец свободных членов — и ведём её к ступенчатому виду.

Разрешённых ходов три, и ни один не меняет множество решений: переставить строки местами, умножить строку на число, прибавить к строке другую. В примере выше из второй строки вычли удвоенную первую, из третьей — первую; затем утроенную третью строку сложили со второй. Нижняя строка теперь говорит только о $z$: $-7z=-21$, значит $z=3$. Обратный ход поднимается по ступенькам: $y-2z=-4$ даёт $y=2$, и наконец $x+y+z=6$ отдаёт $x=1$. Проверка подстановкой во второе уравнение: $2\cdot 1-2+3=3$ — сошлось.

Ступенчатый вид отвечает и на вопрос о количестве решений. Встретилась строка вида $0=5$ — уравнения противоречат друг другу, решений нет. Ступенек меньше, чем неизвестных, а противоречий нет — решений бесконечно много: свободные переменные уходят в параметры (разбор случая — в статье система линейных уравнений). Единственное решение — когда ступенька нашлась на каждую неизвестную. Один прогон метода отвечает сразу на оба экзаменационных вопроса: «реши» и «исследуй».

Гаусс — не только про системы. Тем же приёмом считают определитель (произведение диагональных элементов с поправкой на перестановки строк), ранг (число ненулевых строк ступенчатого вида) и обратную матрицу (дописав справа единичную). Один алгоритм — три разные цели. Мускулы ставятся в тренажёре матриц, полный разбор с краевыми случаями — в уроке про метод Гаусса, а сравнить скорость с формулами поможет материал про метод Крамера.