Метод Гаусса для чайников: разбор на живом примере

Метод Гаусса пугает названием, а устроен как игра в «убей переменную». Берёте два уравнения и складываете их так, чтобы одна из букв исчезла. Потом ещё раз. К концу последнее уравнение содержит одну букву — ответ выпадает сам. Запоминать формулы не нужно, нужна аккуратная арифметика. Ниже живой пример в замедленной съёмке; параллельно можно гонять решатель методом Гаусса.

Разминка: система два на два#

Пусть дано $\{\begin{array}{l}x+y=5\\ 2x-y=4\end{array}$. Сложим уравнения: слева $x+y+2x-y=3x$, справа $9$. Игрек сократился: $3x=9$, то есть $x=3$. Подставляем в первое: $y=2$. Это и есть весь метод Гаусса — сложение уравнений ради исчезновения переменной. В матричной записи то же самое выглядит как прибавление первой строки ко второй: строка $(2,-1|4)$ плюс строка $(1,1|5)$ даёт $(3,0|9)$.

Живой пример три на три: медленно и по шагам#

Система: $\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ x-y+z=4\\ 2x+y-z=5\end{array}$. Цель прямого хода — нули под диагональю. Шаг первый: уберём $x$ из второй строки — вычтем из неё первую: $(0,-2,0|-2)$. Шаг второй: уберём $x$ из третьей — вычтем удвоенную первую: $(0,-1,-3|-7)$.

Шаг третий: уберём $y$ из третьей строки. Вторая несёт $-2y$, третья $-y$ — вычтем из третьей половину второй: $(0,0,-3|-6)$. Ступеньки готовы. Обратный ход: из третьей строки $-3z=-6$, то есть $z=2$; из второй $-2y=-2$, то есть $y=1$; из первой $x=6-1-2=3$. Ответ $(3,1,2)$.

Проверка — самое приятное: $2\cdot 3+1-2=5$ — третье уравнение сходится, как и первые два. Если где-то в арифметике вы потеряли минус, проверка найдёт это за тридцать секунд. Дробь $\frac{1}{2}$ в третьем шаге была единственной за всё решение — и её легко избежать: умножьте третью строку на два, тогда вычтется целая вторая.

Алгоритм для памяти#

1. 1
   Перепишите систему в расширенную матрицу: коэффициенты плюс столбец правых частей.
2. 2
   Убирайте первую переменную из всех строк ниже первой, вторую — из всех ниже второй, и так далее.
3. 3
   Ведущий элемент оказался нулём? Переставьте строки — это легальное действие.
4. 4
   Дойдя до ступеньки, идите снизу вверх: последнее уравнение отдаёт переменную, остальные подхватывают по очереди.
5. 5
   Подставьте ответ в исходную систему — все уравнения обязаны сойтись.

О перестановке на живом деле: система $\{\begin{array}{l}2x+3y=9\\ x+y=3\end{array}$. Если исключать по порядку, придётся делить вторую строку на две половины. Переставьте строки: единичный ведущий элемент, из первой вычитаем удвоенную вторую — $(0,1|3)$, откуда $y=3$ и $x=0$. Порядок строк в системе ничего не значит, а счёт упрощает заметно.

Три привычки, которые спасают счёт#

1. Переписывайте строку целиком после каждого преобразования — правки в уме накапливают ошибки.
2. Ищите удобный ведущий элемент: строка с единицей на диагонали избавляет от дробей.
3. Каждое готовое уравнение прогоняйте подстановкой — это дешевле, чем перерешивать всё заново.

Типовые ошибки новичка#

• Прибавить не ту строку: следите, кто донор, кто получатель. Строка-донор не меняется.
• Потерять знак при вычитании отрицательных коэффициентов: $-3-(-2)=-1$, а не $-5$.
• Подставлять рано: сначала доведите прямой ход до конца, и только потом идите вверх.