Однородные системы: фундаментальная система решений

У однородной системы нулевая правая часть, и нулевое решение есть всегда — просто подставьте нули. Вопрос в другом: есть ли решения кроме тривиального и как описать их все, если их бесконечно много. Ответ даёт ранг, а компактная упаковка бесконечного множества решений называется фундаментальной системой решений, сокращённо ФСР. Построение — тот же метод Гаусса плюс одна идея. Проверить свою систему можно в решателе методом Гаусса.

Идея: решения образуют пространство#

Сумма двух решений однородной системы — снова решение; решение, умноженное на число, — тоже. Значит, множество решений — линейное пространство, и у него есть базис. Этот базис и есть ФСР: $n-r$ линейно независимых решений. Нетривиальные решения существуют ровно тогда, когда $\mathrm{rang}A<n$; при $r=n$ пространство решений состоит из одного нуля, и ФСР пуста. Теория с доказательствами — в уроке однородные СЛАУ.

Алгоритм построения ФСР#

1. 1
   Прогоните однородную систему Гауссом до ступенчатого вида и найдите ранг $r$.
2. 2
   Если $r=n$ — нетривиальных решений нет: ответ «только нулевое».
3. 3
   Если $r<n$: объявите $n-r$ переменных свободными (обычно последние по порядку).
4. 4
   Выразите главные переменные через свободные из ступенчатой системы.
5. 5
   Дайте свободным наборы $(1,0,\dots ,0)$, затем $(0,1,\dots ,0)$ и так далее — каждый набор даёт вектор ФСР.
6. 6
   Общее решение — линейная комбинация векторов ФСР с произвольными коэффициентами $c_i$.

Разбор флагманского примера#

Система $\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2-x_3+x_4=0\\ 2x_1+4x_2+x_3-x_4=0\\ 3x_1+6x_2=0\end{array}$. Прямой ход: $R_2-2R_1=(0,0,3,-3|0)$, затем $R_3-3R_1=(0,0,3,-3|0)$ — третья строка повторяет вторую и обнуляется. Ранг $r=2$, неизвестных $n=4$: ФСР состоит из $n-r=2$ векторов.

Свободные — $x_2$ и $x_4$. Набор $(1,0)$: $x_1=-2$, $x_3=0$ — вектор $X_1=(-2,1,0,0)$. Набор $(0,1)$: $x_1=0$, $x_3=1$ — вектор $X_2=(0,0,1,1)$. Общее решение: $x=c_1{X}_1+c_2{X}_2$. Проверка занимает секунды: $-2+2\cdot 1-0+0=0$ и $0+0+1-1=0$ — оба вектора честные решения.

Квадратный случай: система $\{\begin{array}{l}x+2y=0\\ 2x+4y=0\end{array}$ — ранг единица, неизвестных два, ФСР из одного вектора. Из первого уравнения $x=-2y$; свободная $y=1$ даёт $X_1=(-2,1)$. Условие $\det A=0$ здесь видно невооружённым глазом — вторая строка удваивает первую. Для квадратных матриц именно так и решается вопрос о нетривиальных решениях: определитель нулевой — ФСР непуста.

ФСР не абстракция: уравнение для собственных векторов матрицы $(A-\lambda E)x=0$ — однородная система, и собственный вектор ищется как вектор ФСР. Именно поэтому при $\det (A-\lambda E)=0$ нетривиальные решения существуют: условие подобрано под критерий ранга. Вся теория собственных значений стоит на конструкции этой страницы.

Три типовые ошибки#

• Забыть тривиальное решение: при $r=n$ ответ обязан явно содержать $x=0$, а не только слово «система решена».
• Выдать неверное число векторов ФСР: их ровно $n-r$. Лишний вектор зависим, недостающий не покроет всё пространство решений.
• Перепутать свободные и главные переменные: свободные — это столбцы без ведущих элементов в ступенчатом виде, а не «что захотелось».