Теорема Кронекера–Капелли: совместность системы

Система линейных уравнений не обязана иметь решение — и перед поиском решения полезно узнать, существует ли оно вообще. Ответ даёт теорема Кронекера–Капелли: сравните ранг матрицы системы с рангом расширенной матрицы. Совпадают — решения есть; различаются — их нет, и никакие преобразования этого не исправят. На практике теорема читается прямо со ступенчатого вида после прямого хода Гаусса; прогон своей системы — в решателе методом Гаусса.

Формулировка#

Расширенная матрица $(A|b)$ получается приписыванием столбца правых частей, поэтому её ранг всегда не меньше $\mathrm{rang}A$. Вся информация — в разнице: появилась ли при прямом ходе строка вида $(00\dots 0|c)$ с ненулевым $c$. Такая строка означает требование $0=c$ — систему это убивает. Противоречивых строк нет — обе матрицы имеют один ранг, и решения существуют. Понятия ранга и совместности — в термине система линейных уравнений.

Три вердикта после прямого хода#

Алгоритм: пять шагов#

1. 1
   Составьте расширенную матрицу $(A|b)$ и выполните прямой ход Гаусса.
2. 2
   Посчитайте ранги: число ненулевых строк ступенчатого вида для $A$ и для $(A|b)$.
3. 3
   Ранги различаются — система несовместна, исследование закончено.
4. 4
   Ранги равны числу неизвестных — решение единственное, доводите обратный ход.
5. 5
   Ранги равны $r<n$ — выразите главные переменные через $n-r$ свободных и запишите общее решение.

Разбор: несовместная система#

Система $\{\begin{array}{l}x+2y+z=3\\ 2x+4y+2z=7\\ x-y+3z=5\end{array}$. Второе уравнение по коэффициентам — удвоенное первое, но правые части не согласованы: $2\cdot 3=6$, а стоит $7$. Прямой ход подтверждает: $R_2-2R_1$ даёт строку $(0,0,0|1)$ — требование $0=1$. $\mathrm{rang}A=2$, $\mathrm{rang}(A|b)=3$, ранги различны — решений нет. Геометрия честная: две плоскости параллельны, третья пересекает их по отдельности, общего места у трёх плоскостей нет.

Разбор: бесконечно много решений#

Система $\{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ x-y+z=4\\ x+z=3\end{array}$. Ход: $R_2-R_1=(0,-2,0|2)$, $R_3-R_1=(0,-1,0|1)$. Обе строки говорят одно и то же: $y=-1$. Третья ступенька вырождается, $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}(A|b)=2<3$. Решения есть, и свободная переменная одна: пусть $z=t$, тогда $x=3-t$, $y=-1$. Каждое $t$ даёт своё решение — в пространстве это прямая. А если сменить третье уравнение на $x+2y+2z=5$, третья ступенька выживет: ранги обе равны трём, решение единственное, обратный ход даёт $(-1,-1,4)$. Один коэффициент — и вырожденная система стала определённой.

Три типовые ошибки#

• Считать ранг только основной матрицы и забыть расширенную: вся соль теоремы — в разнице двух рангов.
• Объявить систему несовместной при $\mathrm{rang}A<n$: малый ранг означает бесконечно много решений, а не их отсутствие. Отсутствие даёт только неравенство рангов.
• Потерять строку-противоречие при переписывании матрицы: нулевая строка с ненулевой правой частью обязана остаться в ступенчатом виде.