Метод Гаусса: пошаговый алгоритм решения СЛАУ

Систему из трёх уравнений с тремя неизвестными можно решить и подстановкой — до первой системы, где всё переплетено. Метод Гаусса превращает любую СЛАУ в конвейер: исключайте переменные по одной, пока последнее уравнение не отдаст ответ. Работает для любого числа неизвестных и для прямоугольных систем — поэтому он и стоит во всех учебниках первым. Живой прогон вашей системы — в решателе методом Гаусса.

Идея: ступеньки вместо хаоса#

Разрешены три элементарных преобразования строк: переставить две строки, умножить строку на ненулевое число, прибавить к одной строке другую. Каждое переводит систему в равносильную — множество решений не меняется. Прямой ход обнуляет всё под диагональю, обратный — поднимается снизу вверх и вынимает переменные по одной.

Алгоритм: шесть шагов#

1. 1
   Запишите расширенную матрицу $(A|b)$: коэффициенты плюс столбец правых частей.
2. 2
   Прямой ход: в первом столбце выберите ведущий элемент (ноль — переставьте строки), обнулите под ним всё вычитанием подходящих кратных первой строки.
3. 3
   Повторяйте для второго столбца, третьего и так далее — до ступенчатого вида.
4. 4
   Диагностика: строка $(00\dots 0|c)$ с $c\ne 0$ — решений нет; противоречий нет, а ненулевых строк меньше числа неизвестных — решений бесконечно много.
5. 5
   Обратный ход: из последнего уравнения найдите последнюю переменную и поднимайтесь вверх, подставляя готовые значения.
6. 6
   Проверка подстановкой в исходную систему — тридцать секунд страховки.

Разбор флагманского примера#

Решаем систему $\{\begin{array}{l}x+y+z=4\\ x-y+z=6\\ 3x+y+2z=11\end{array}$. Прямой ход: из второй строки вычитаем первую ($R_2-R_1$), из третьей — утроенную первую ($R_3-3R_1$):

Обратный ход снизу вверх: $-z=-3$ даёт $z=3$; из второй строки $-2y=2$, то есть $y=-1$; из первой $x=4-y-z=4+1-3=2$. Ответ $(2,-1,3)$. Проверка: $3\cdot 2+(-1)+2\cdot 3=11$ — третье уравнение сошлось, а первые два выполнились сами собой по дороге обратного хода.

Система поменьше: $\{\begin{array}{l}2x+y=7\\ 4x-3y=-1\end{array}$. Вычитаем из второй строки удвоенную первую: $(0,-5|-15)$, откуда $y=3$ и далее $x=2$. Целочисленная арифметика — не везение, а выбор: ведущие элементы подбираются перестановкой строк так, чтобы делить было удобно. А вот Гаусс ставит диагноз бесплатно: система $\{\begin{array}{l}x+y+z=3\\ 2x+2y+2z=7\end{array}$ после $R_2-2R_1$ выдаёт строку $(0,0,0|1)$ — требование $0=1$, решений нет. Замените семёрку на шестёрку — строка исчезнет целиком, и останется одно уравнение на три неизвестных: решений бесконечно много, $x=3-y-z$. Оба вердикта подробно разобраны в уроке СЛАУ и метод Гаусса.

Четыре типовые ошибки#

• Преобразовать коэффициенты и потерять свободный член: строка живёт целиком, вычитайте и правую часть тоже.
• Делить на нулевой ведущий элемент. Сначала переставьте строки, потом делите: ноль в знаменателе — единственная настоящая катастрофа метода.
• Перепутать направления ходов: под диагональю нули — прямой ход; снизу вверх по одной переменной — обратный.
• Пропустить проверку: одна ошибка знака в середине прямого хода доезжает до ответа и портит всё, а подстановка ловит её мгновенно.