СЛАУ и метод Гаусса: пошаговый алгоритм с примерами

Цех выпускает три вида продукции, расходуя на них сталь, электроэнергию и рабочие часы — и нужно понять, сколько чего выпускать, чтобы ресурсы исчерпались точно. Такая задача сворачивается в систему линейных уравнений — коротко СЛАУ. Системы встречаются везде: цепи в электротехнике, межотраслевые балансы в экономике, кривые в компьютерной графике. Универсальный инструмент их решения придумали ещё в античном Китае, а имя ему дал Гаусс — и этот метод останется главным до конца курса.

Что такое СЛАУ и какие у неё решения#

Системой $m$ линейных уравнений с $n$ неизвестными называют набор равенств вида $a_{i1}{x}_1+a_{i2}{x}_2+\cdots +a_{in}{x}_n=b_i$, $i=1,\dots ,m$. Числа $a_{ij}$ — коэффициенты, $b_i$ — свободные члены. В матричной записи всё сжимается в одно уравнение:

Здесь $A$ — матрица коэффициентов размера $m\times n$, $x$ — столбец неизвестных, $b$ — столбец свободных членов. Решение системы — набор чисел, который обращает все уравнения в верные равенства одновременно. По количеству решений системы делятся на три сорта:

• совместная определённая — решение ровно одно
• совместная неопределённая — решений бесконечно много
• несовместная — решений нет

Вердикт выносит ранг матрицы через теорему Кронекера–Капелли: система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы $A$ совпадает с рангом расширенной матрицы $\tilde{A}$. Если ранги равны $n$ — решение единственно; если меньше $n$ — свободных переменных будет $n-\mathrm{rang}A$.

Метод Гаусса: прямой и обратный ход#

Идея метода — последовательно исключать неизвестные, превращая систему в треугольную, где последнее уравнение содержит одну переменную, предпоследнее — две и так далее. Дальше решения поднимаются снизу вверх, как по лестнице. Работаем не с самой системой, а с её расширенной матрицей — строка матрицы это и есть уравнение без букв.

• разрешено: переставить две строки местами
• разрешено: умножить строку на число, отличное от нуля
• разрешено: прибавить к строке другую строку, умноженную на любое число
• запрещено: умножать столбцы на числа и переставлять их без меток — неизвестные перепутаются

Разогреемся на системе $2\times 2$: $2x+y=5$, $x-y=1$. Двигайте ползунки коэффициентов ниже и смотрите, как каждая прямая меняет положение: решение системы — точка их пересечения.

Особые случаи: как читать ступенчатую матрицу#

После прямого хода матрица расскажет о системе всё. Если в какой-то строке слева стоят одни нули, а справа — ненулевое число, получилась запись вида $0=5$ — противоречие, система несовместна. Если строка превратилась в тождество $0=0$, уравнение было лишним — убираем его и пересчитываем ранг. Число ненулевых строк ступенчатой матрицы — это ранг коэффициентной части.

Пример бесконечности: система $x+y=2$, $2x+2y=4$. Второе уравнение — удвоенное первое, после прямого хода останется одна строка. Одна свободная переменная: положим $y=t$, получим $x=2-t$. Пробегая $t$ по всем числам, получаем прямую решений — и это не уродство, а осмысленная геометрия: две прямые-уравнения совпали.

Геометрически всё прозрачно: каждое уравнение с двумя неизвестными — прямая на плоскости. Три сценария решений — это пересечение в одной точке, параллельность и совпадение прямых. Для трёх неизвестных уравнения — плоскости в пространстве, и несовместная система — это, например, три плоскости, попарно пересекающиеся по трём параллельным прямым.

Обратный ход по-другому: метод Жордана–Гаусса#

Можно продолжить прямой ход и обнулить элементы не только под ведущими элементами, но и над ними — тогда матрица станет единичной, а решения прочитаются сразу, без обратной лестницы. Это метод Жордана–Гаусса; он же применяется для поиска обратной матрицы над блоком $(A|E)$. Вычислений чуть больше, зато ответ выписывается в одну строку — на экзамене выбирают тот ход, который требует меньше переписывания.

Метод Гаусса удобно разбирать именно по шагам: одна кнопка — одна элементарная операция над строками. Пройдите прямой и обратный ход сами и следите за пояснениями к каждой операции.

Метод Гаусса — швейцарский нож курса: он решает системы, считает ранги, ищет обратные матрицы и определяет базисы. Следующий урок покажет его конкурентов для квадратного случая: правило Крамера и матричный метод — быстрые, наглядные, но работающие только при $\det A\ne 0$.

Пройдём систему до конца на конкретных числах: $\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ 2x-y+z=3\\ x+2y-z=2\end{array}$. Прямой ход: из второй строки вычитаем удвоенную первую, из третьей — просто первую; затем третья строка подравнивается второй. Ступенчатый вид готов, он в формуле ниже. Обратный ход поднимается снизу: $-\frac{7}{3}z=-7$ даёт $z=3$; дальше $-3y-z=-9$ даёт $y=2$; наконец $x+y+z=6$ возвращает $x=1$. Ответ: $(1,2,3)$. Почему прямой ход не портит решения? Каждое элементарное преобразование — умножение строки на ненулевое число, сложение строк, перестановка — переводит систему в эквивалентную: множество решений сохраняется, меняется только одежда записи. А ступенчатый вид удобен тем, что решается снизу вверх почти без усилий: каждое уравнение содержит ровно одну новую переменную. Обязательный ритуал — подстановка в исходную систему: $2\cdot 1-2+3=3$ и $1+4-3=2$ сходятся, значит, ни одна арифметическая заноза не проскочила.

Как запомнить

1. Расширенная матрица: коэффициенты плюс столбец свободных членов; вертикальная черта — просто удобная граница.
2. Прямой ход — нули под диагональю: ступенька за ступенькой, слева направо и сверху вниз.
3. Ведущий элемент нулевой? Переставь строки, а не сдавайся: ноль в знаменателе — единственная катастрофа метода.
4. Обратный ход — снизу вверх, по одной переменной за шаг; последнее уравнение уже почти решено.
5. Совместность решают ранги: равны — решения есть; подробности — на странице системы линейных уравнений.
6. Подставь ответ в исходную систему — тридцать секунд страховки против целого перерешивания.