Задачи на системы линейных уравнений

Система линейных уравнений — вопрос, который задают несколько строк с несколькими неизвестными: при каких значениях переменных все равенства выполняются одновременно? Это первый большой блок линейной алгебры, и контрольные по нему начинаются именно с СЛАУ: курс линейная алгебра открывается темами про определители и метод Гаусса не случайно — на этом фундаменте стоит всё остальное. Определения и строгая теория — в термине система линейных уравнений, здесь — практика.

Где встречаются задачи на СЛАУ? Везде, где несколько величин связаны линейными условиями: межотраслевой баланс в экономике, токи в контурах у физиков, метод наименьших квадратов у статистиков. Экзаменационный набор устойчив: система $2\times 2$ на сложение, система $3\times 3$ на метод Гаусса, метод Крамера и вопрос «сколько решений». Против этого набора и настроена страница.

Стратегия проста. Маленькую систему $2\times 2$ быстрее решить сложением или Крамером; для $3\times 3$ и больше — только Гаусс; вопрос о числе решений закрывается одним взглядом на определитель или на строку $0=c$ после исключения. Ниже — классификация подтипов с распознаванием, разобранный пример со всеми шагами, коллекция ошибок и встроенный тренажёр.

Пара слов о геометрии — она страхует от абсурдных ответов. Каждое линейное уравнение — это прямая на плоскости или плоскость в пространстве, и решение системы — точка их пересечения. Прямые пересекаются один раз, совпадают или параллельны — и это ровно те три случая числа решений, которые ловит алгебра: единственное решение, бесконечно много, ни одного. Если арифметика выдала «два решения», вернитесь к уравнениям: где-то закралась ошибка.

Классификация: 5 подтипов#

Разобранный пример#

Разберём систему трёх уравнений — типовой «средний» номер контрольной: $\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ 2x-y+z=3\\ x+2y-z=2\end{array}$. Подстановкой здесь мучиться не стоит: три неизвестных — три этажа выражений, и запутаться в них проще, чем в матрице. Идём методом Гаусса.

1. 1
   Расширенная матрица: $\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 2& -1& 1& 3\\ 1& 2& -1& 2\end{array}\right)$. Правые части пишем в четвёртый столбец и ведём с ними те же операции, что и с остальными.
2. 2
   Обнуляем первый столбец: из второй строки вычитаем первую, умноженную на 2: $(0,-3,-1\mid -9)$; из третьей вычитаем первую: $(0,1,-2\mid -4)$.
3. 3
   Обнуляем $y$ в третьей строке: умножим её на 3 и прибавим вторую: $(0,0,-7\mid -21)$. Множитель 3 выбран, чтобы не тащить дроби.
4. 4
   Последняя строка — готовое уравнение: $-7z=-21$, откуда $z=3$.
5. 5
   Обратный ход. Средняя строка: $-3y-z=-9$; подставляем $z=3$: $-3y=-6$, значит $y=2$.
6. 6
   Верхняя строка: $x+y+z=6$, то есть $x=6-2-3=1$.
7. 7
   Проверка по среднему уравнению: $2\cdot 1-2+3=3$ — сходится. Для контроля прогоняем и первое: $1+2+3=6$.

Сверим ответ методом Крамера — заодно потренируем определители третьего порядка, которые преподаватели любят требовать отдельной строкой: $\Delta =7$, ${\Delta }_x=7$, ${\Delta }_y=14$, ${\Delta }_z=21$. Делим: $x=1$, $y=2$, $z=3$. Оба метода согласуются — ответу можно доверять.

Когда что применять? Крамер силён там, где определители уже посчитаны или система маленькая: пара замен столбцов — и ответ. Гаусс лучше масштабируется и остаётся единственным выбором при $\Delta =0$ или когда неизвестных больше трёх. Разумная экзаменационная связка: решить Гауссом, сверить Крамером — оба метода поместились в один пример выше.

Типичные ошибки#

• Правые части попали в главный определитель. $\Delta =a_1{b}_2-a_2{b}_1$ считается по коэффициентам при $x$ и $y$; столбец свободных членов участвует только в ${\Delta }_x$ и ${\Delta }_y$.
• Потерян знак при вычитании строк. $R_3-R_1$ для строки $(1,2,-1\mid 2)$ даёт $(0,1,-2\mid -4)$, а не $(0,1,-2\mid 4)$: минус обязан дойти до каждого элемента.
• Противоречивую строку не заметили. Если после исключения появилась строка $(0,0\mid c)$ с $c\ne 0$, решений нет — и никакая переработка дальше этого не изменит.
• В Крамере заменён не тот столбец. В ${\Delta }_x$ на столбец правых частей меняется именно столбец при $x$; замена другого даёт координату соседней переменной.
• Ответ принят без проверки. Подстановка найденной тройки во все уравнения занимает тридцать секунд; без неё арифметическая опечатка доезжает до чистовика.

Тренируйся: встроенный тренажёр#

Генератор задач на этой странице выдаёт бесконечный поток систем с пошаговым разбором каждой. Пять уровней: решение системы $2\times 2$, главный определитель, метод Крамера, одна переменная в системе $3\times 3$ и определение типа системы — единственное решение, пустое множество или целое семейство. Поднимайтесь на уровень выше, когда ошибки случаются реже, чем в одной задаче из десяти: узнавание подтипа должно происходить быстрее, чем счёт. Для марафонской практики есть и отдельный тренажёр по системам линейных уравнений — те же генераторы, но без текста вокруг.

Что смотреть дальше#

1. Урок метод Гаусса — прямой и обратный ход на системах $3\times 3$ с ловушками.
2. Урок метод Крамера и матричный метод — когда определители выгоднее подстановок.
3. Урок однородные системы — фундаментальная система решений и свободные переменные.
4. Разбор как решать системы линейных уравнений — компактный алгоритм со всеми переходами на одной странице.
5. Термины система линейных уравнений и метод Гаусса — определения с формулами.
6. Тренажёр по системам линейных уравнений — практика с автопроверкой без ограничения по количеству задач.