Тренажёр ЕГЭ: производная (задание 11 и 12)

Тренажёр ЕГЭ по производной собирает в одном месте все сюжеты профильного экзамена, где живёт производная: чтение графика производной, касательные, физический смысл, наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Нумерация заданий от года к году меняется — материал производной в разных редакциях КИМ числился под номерами 7, 8, 11 и 12, — поэтому тренажёр привязан не к номеру, а к содержанию: всё, что экзамен спрашивает через призму $f^{\prime }(x)$. Подробные разборы по каждому сюжету смотрите в страницах ЕГЭ — производная и график и исследование функций, здесь же — плотная практика.

Формат тренажёра: двенадцать заданий с вариантами — по образцу первой части экзамена (один верный ответ, минута-полторы на каждое), плюс три генерируемые задачи от встроенного потока в конце страницы — вопросы 13–15. Каждый вариант снабжён разбором: дистракторы — это реальные ошибки экзамена, от перепутанного знака смены производной до «значения вместо абсциссы». Решать — с бумагой: производная в ЕГЭ проверяет скорость мысли, а не скорость черчения, но без короткой записи мысли путаются.

Почему производная так важна: это единственная тема первой части, которая встречается в трёх разных обличьях — графическом (по графику $f^{\prime }$ судить о $f$), аналитическом (касательная, скорость) и оптимизационном (max/min на отрезке). Одна таблица производных обслуживает все три сюжета, и прокачка темы даёт максимум баллов на вложенную минуту.

Как работать с тренажёром#

1. 1
   Пройдите блоки по порядку: график производной → касательные → физический смысл → наибольшее/наименьшее → ловушки. Порядок повторяет логику экзамена: от чтения к счёту.
2. 2
   На каждое задание закладывайте полторы минуты; если застряли — отмечайте вопрос и идите дальше, как на настоящем экзамене.
3. 3
   После каждого ответа читайте разборы всех вариантов: дистракторы собраны из реальных потерь баллов и предупреждают о ловушках заранее.
4. 4
   Заведите лист ошибок: номер вопроса, суть промаха, правило, которое спасло бы. Пять строк бумаги экономят час повторения.
5. 5
   Решите три задачи генератора — вопросы 13–15: генератор выдаёт свежие производные задачи с пошаговым решением и не даёт подсмотреть ответ.
6. 6
   Через день-два пройдите тренажёр снова: цель — не запомнить ответы, а довести распознавание сюжета до автоматизма.

Блок 1. График производной (вопросы 1–2)#

Классика экзамена: дан график $f^{\prime }$ (не $f$!), и о нём спрашивают поведение функции. Минимальный словарь: $f^{\prime }>0$ — функция растёт, $f^{\prime }<0$ — убывает, смена знака $f^{\prime }$ — экстремум. Всё остальное — вариации на эту тройку.

Блок 2. Касательная (вопросы 3–5)#

Три вопроса про касательную: условие параллельности, уравнение касательной и касание параболы прямой. Шаблон один и тот же — наклон касательной равен $f^{\prime }(x_0)$, — но экзамен упаковывает его по-разному. Формулы под рукой — в шпаргалке по производным.

Блок 3. Физический смысл (вопросы 6–7)#

Скорость — производная координаты, ускорение — производная скорости. Экзамен любит эти вопросы за то, что они проверяют не таблицу производных, а понимание цепочки «координата → скорость → ускорение» и внимательность к вопросу: что именно спрашивают?

Блок 4. Наибольшее и наименьшее значение (вопросы 8–10)#

Оптимизационный сюжет — самый доходный по баллам и самый коварный по ловушкам. Схема всегда одна: производная, критические точки, сравнение значений в критических точках И на концах отрезка. Ловушка — в последнем «и»: половина потерь баллов случается, когда границы забыты. Разбор формата — в странице задание 12 ЕГЭ.

Блок 5. Ловушки и приёмы (вопросы 11–12)#

Финальный блок собирает вопросы, где балл теряют не на производной, а на внимательности: цепное правило в конкретной точке и поведение функции там, где производной не существует.

Разбор по шагам: полный протокол задания 12#

Пройдите разбор типового задания на наибольшее значение — сначала сами, потом открывая шаги. Это тот самый протокол, который переносится на любую функцию и любой отрезок.

Касательная под контролем#

Последний интерактив связывает все сюжетные линии: наклон касательной — это производная, нули производной — экстремумы, знак производной — направление. Потяните точку по параболе и сверьте картинку с правилами из блоков 1–2.

Типичные потери баллов#

• График $f^{\prime }$ прочитан как график $f$. Нули $f^{\prime }$ — не нули функции, а кандидаты в экстремумы. Первое действие на графическом вопросе: уточните, ЧТО нарисовано.
• Значение и абсцисса перепутаны. «Точка максимума» — это $x$, «максимальное значение» — $f(x)$. Перечитайте вопрос перед записью ответа — это секунда, а балл целый.
• Границы отрезка не сравнены. Протокол всегда один: критические точки + концы. Пропуск концов — самый дорогой пропуск темы.
• Цепное правило без множителя. $\sin (2x+1{)}^{\prime }\ne \cos (2x+1)$: домножайте на производную внутренности. Проверка — подставьте простую точку.
• Двойной корень не распознан как касание. Уравнение «функция = прямая» с одним корнем — это касание; с двумя — пересечение в двух точках. Дискриминант ноль — сигнал касания.

Что смотреть дальше#

1. Разборы заданий ЕГЭ — производная и график и исследование функций: наибольшее и наименьшее значение.
2. Теория с нуля — уроки производная: определение и правила дифференцирования.
3. Тип задач целиком — задачи на производные с классификацией подтипов и генератором.
4. Оптимизационный сюжет глубже — оптимизация с производной: текстовые задачи на максимум и минимум.
5. Чистая практика — тренажёр производных с бесконечным потоком задач и ростом сложности.
6. Алгоритм одной страницей — разбор как решать производные.