Задачи на оптимизацию с производной

Оптимизация с производной — момент, когда матанализ выходит из учебника в цех: из листа металла вырезать коробку наибольшего объёма, огородить участок максимальной площади, уложить маршрут короче. Формулировки бесконечны, а устройство задачи одно: есть величина, которую хочется сделать максимальной или минимальной, и есть ограничение, которое связывает переменные. Производная находит вершину: в точке максимума касательная горизонтальна, то есть $f^{\prime }(x)=0$. База — в разборе как находить экстремумы, смысл производной — в уроке производная: определение.

Почему задача не решается «на глаз»: у целевой функции почти всегда два локальных претендента — критическая точка и граница области, и выбор между ними требует сравнения. Скажем, коробка из листа: вырезаешь большие квадраты — стенки высокие, но дно крошечное; маленькие — дно широкое, но стенки никуда. Между этими крайностями есть оптимум, и он не в середине, а там, где производная обнуляется. Производная превращает «найди лучший вариант» в уравнение — в этом вся сила метода.

Схема работы всегда одинаковая, и её стоит выучить как таблицу умножения: выбрать переменную, выразить целевую функцию одной буквой, найти область определения, продифференцировать, решить $f^{\prime }(x)=0$, отобрать точки и ответить на вопрос. Половина ошибок в этой теме — не в производной, а в первых двух шагах: выбрана не та переменная или не учтено ограничение.

Классификация: 4 подтипа#

Метод: от сюжета к критической точке#

1. 1
   Определите, что оптимизируем (объём, площадь, стоимость), и запишите это словами — потом формулой.
2. 2
   Выберите переменную и выразите через неё целевую функцию; если переменных две — используйте ограничение, чтобы осталась одна.
3. 3
   Найдите область определения из здравого смысла: длины положительны, размеры не превышают исходных.
4. 4
   Продифференцируйте и решите $f^{\prime }(x)=0$. Критические точки внутри области — кандидаты.
5. 5
   Отберите точку экстремума: смена знака производной, вторая производная или прямое сравнение значений в кандидатах и на границах.
6. 6
   Ответьте на вопрос задачи: часто спрашивают не $x$, а само максимальное значение — не перепутайте.

Разобранный пример 1: коробка максимального объёма#

Из квадратного листа жести со стороной 18 см вырезают по углам одинаковые квадраты и загибают края. При какой стороне выреза объём коробки наибольший? Классика жанра — найдите оптимум между «глубоко и узко» и «широко и плоско».

1. 1
   Пусть сторона выреза $x$. Дно — квадрат $(18-2x)\times (18-2x)$, высота $x$; область $0<x<9$.
2. 2
   Объём: $V(x)=x(18-2x{)}^2=4x(9-x{)}^2$.
3. 3
   Производная по правилу произведения: $V^{\prime }(x)=(18-2x{)}^2+x\cdot 2(18-2x)(-2)=(18-2x)(18-6x)$.
4. 4
   $V^{\prime }(x)=0$ даёт $x=9$ (граница) и $x=3$ — внутренний кандидат.
5. 5
   Знак производной: на $(0,3)$ плюс, на $(3,9)$ минус — максимум. $V(3)=3\cdot 12^2=432$ см³.
6. 6
   Ответ: вырез по 3 см, объём 432 см³. Края: $V\to 0$ при $x\to 0$ и $x\to 9$ — оптимум точно не на границе.

Разобранный пример 2: забор максимальной площади#

Прямоугольный участок примыкает одной стороной к реке, забор ставят только на три стороны, всего 40 метров. Какие размеры дают наибольшую площадь? Здесь работает ограничение: оно и снижает число переменных.

1. 1
   Пусть стороны перпендикулярно реке — $x$ (их две), вдоль реки — $y$. Ограничение: $2x+y=40$.
2. 2
   Выражаем $y=40-2x$ и площадь: $S(x)=xy=x(40-2x)=40x-2x^2$, область $0<x<20$.
3. 3
   $S^{\prime }(x)=40-4x=0\Rightarrow x=10$, тогда $y=20$.
4. 4
   Парабола с ветвями вниз — найденная точка действительно максимум. $S=10\cdot 20=200$ м².
5. 5
   Сравнение с квадратом: свободный участок той же длины забора (без реки) дал бы квадрат $10\times 10$ и площадь 100. Река как «бесплатная» сторона удваивает результат.

Типичные ошибки#

• Критическая точка вне области определения принята за ответ.
• Производная посчитана с ошибкой знака при дифференцировании произведения — проверяйте раскрытием скобок.
• Не сравнили критическую точку с границами отрезка: на концах интервалы значений бывают больше.
• В ответе дают аргумент вместо значения целевой функции (или наоборот).
• Забыто ограничение: работают с двумя переменными и «застревают», вместо того чтобы исключить одну.

Проверьте себя#

Что смотреть дальше#

1. Алгоритм экстремумов целиком — разбор как находить экстремумы.
2. Полное исследование функции — разбор как исследовать функцию и урок исследование функций.
3. Правила дифференцирования — шпаргалка таблицы производных.
4. Экзаменационный формат — задание 12: исследование и задание 7: производная.
5. Техника дифференцирования — тип задач производные.
6. Тренажёр без теории — тренажёр производных.

Короткий разбор с проверкой размерности: из квадратного листа жести со стороной $a$ вырезают по углам квадраты со стороной $x$ и сгибают коробку. Объём $V(x)=x(a-2x{)}^2$. Производная $V^{\prime }=(a-2x{)}^2-4x(a-2x)=(a-2x)(a-6x)$, ноль при $x=a/6$ и $x=a/2$. Вторая точка — граница смысла (коробка нулевой ширины), максимум даёт $x=a/6$. Проверка числом: $a=30$ даёт $V=5\cdot 20^2=2000$ кубических единиц против $V(2)=2\cdot 26^2=1352$ — выигрыш почти в полтора раза, оптимум настоящий.