Задачи на объём тела вращения

Объём тела вращения — задача о том, сколько вещества в детали, которую выточили на станке: кривая $y=f(x)$ на отрезке $[a,b]$ проворачивается вокруг оси и выметает тело. Объём считается интегралом $V=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$ — площадь кружка-среза $\pi f^2$ накоплена вдоль оси. Раздел — прямой потомок темы площадь криволинейной трапеции: сначала научились интегрировать высоту, теперь интегрируем квадрат высоты. Теория с выводом — в уроке приложения интеграла.

Прикладной вес темы огромный: баки и цистерны, валы и отверстия, линзы и купола — всё это тела вращения, и конструктор обязан знать их объём до заказа металла. Отсюда и формулировки задач: «найти объём детали», «сколько литров вмещает резервуар», «вычислить объём тела, образованного вращением фигуры». Формула одна, но подтипов несколько — и различаются они осью вращения и числом кривых.

Главный практический навык здесь — не интегрирование, а правильная постановка: увидеть, что является радиусом среза, и не забыть квадрат. В этом кроется и типичная ошибка: тело вращения интегрируют «как площадь», без квадрата, и получают чушь. Разберём классификацию, метод и два примера — один вокруг $Ox$, второй в виде кольца.

Классификация: 3 подтипа#

Метод: шесть шагов#

1. 1
   Нарисуйте фигуру и ось вращения; заштрихуйте. Тело вращения — вокруг какой оси кривая крутится, от этого зависит вся формула.
2. 2
   Определите радиус среза: расстояние от оси до кривой. Для $Ox$ это $f(x)$, для $Oy$ — $\phi (y)$.
3. 3
   Выберите метод: диски — одна кривая; кольца — две (внешний $R$, внутренний $r$); цилиндры — вращение вокруг $Oy$ без пересчёта функции.
4. 4
   Найдите пределы интегрирования по переменной, вдоль которой режете тело на срезы.
5. 5
   Запишите и посчитайте интеграл: $\pi$ множитель выносится, квадраты стоят на радиусах, а не на самой переменной.
6. 6
   Проверьте ответ на масштаб: сравните с конусом, цилиндром или шаром, в которые тело очевидно вписывается или которые вписываются в него.

Разобранный пример 1: диски вокруг оси $Ox$#

Найти объём тела, образованного вращением кривой $y=\sqrt{x}$ на отрезке $[0,4]$ вокруг оси $Ox$. Один подграфик, одна кривая — метод дисков.

1. 1
   Радиус среза в точке $x$ равен $\sqrt{x}$ — расстояние от оси до кривой.
2. 2
   Квадрат радиуса: $(\sqrt{x}{)}^2=x$ — вот зачем квадрат: корень исчезает, интеграл упрощается.
3. 3
   $V=\pi {\int }_0^{4}xdx=\pi \cdot \frac{x^2}{2}{|}_0^4=\pi \cdot 8=8\pi$.
4. 4
   Проверка масштаба: конус из тех же крайних точек (высота 4, радиус 2) имеет объём $\frac{1}{3}\pi \cdot 4\cdot 4=\frac{16\pi }{3}\approx 5,3\pi$. Тело выпуклое вверх, конус внутри него — и правда $8\pi >5,3\pi$.

Разобранный пример 2: кольцо между кривыми#

Фигура между $y=x$ и $y=x^2$ на $[0,1]$ вращается вокруг оси $Ox$. Две кривые — метод колец: каждый срез это шайба с дыркой.

1. 1
   На $[0,1]$ прямая выше параболы (в точке $x=0,5$: $0,5>0,25$). Внешний радиус $R=x$, внутренний $r=x^2$.
2. 2
   Разность квадратов: $R^2-r^2=x^2-x^4$.
3. 3
   $V=\pi {\int }_0^1(x^2-x^4)dx=\pi (\frac{1}{3}-\frac{1}{5})=\frac{2\pi }{15}$.
4. 4
   Контроль здравого смысла: тело вписано в цилиндр радиуса 1 и высоты 1 объёма $\pi$, ответ $\approx 0,42$ — на глаз фигурка тонкая, сходится.

Типичные ошибки#

• Забыт квадрат радиуса: $\int f$ вместо $\int f^2$ — размерность ответа сразу выдаёт.
• Потерян множитель $\pi$ — он общий для всех срезов и выносится за интеграл.
• Пределы взяты не по той переменной: вращаем вокруг $Oy$, а интегрируем по $x$ без метода цилиндров.
• В методе колец перепутан внешний и внутренний радиус — спасает то, что в разности квадратов порядок не важен, но важно, что оба радиуса на своём отрезке корректны.
• Ответ не сопоставлен с известными телами: шар и цилиндр дают мгновенные рамки сверху и снизу.

Проверьте себя#

Что смотреть дальше#

1. Вывод формул и ещё примеры — урок приложения интеграла.
2. Базовая техника — тип задач площадь криволинейной трапеции.
3. Пошаговая схема интегральных задач — разбор как решать интегралы.
4. Приёмы взятия интегралов — шпаргалка методов интегрирования.
5. Отдельный тренажёр — тренажёр интегралов-2.
6. Двойной интеграл для произвольных тел — термин двойной интеграл.

Пример на здравый смысл: область под $y=\sqrt{x}$ от $0$ до $4$ вращается вокруг оси. Объём $V=\pi {\int }_0^{4}xdx=8\pi \approx 25,1$. Проверка геометрией: конус с радиусом $2$ и высотой $4$ имеет объём $\frac{16\pi }{3}\approx 16,8$. Не совпадает — и правильно: конус получился бы при вращении прямой $y=x/2$, а не корня. Зато конус сравнения показывает порядок величины: $8\pi$ больше, потому что парабола-корень лежит выше прямой. Такой «контроль соседней фигуры» спасает от потерянных коэффициентов.

Ещё один приём контроля — «среднее сечение»: объём тела вращения примерно равен площади среднего поперечного сечения, умноженной на длину оси. Для тела под $y=\sqrt{x}$ на $[0,4]$ средний радиус лежит между $0$ и $2$, порядка $1,3$: площадь сечения около $5,3$, объём-прикидка $5,3\cdot 4\approx 21$ — рядом с точным $8\pi \approx 25,1$. Порядок совпал, значит формула применена без грубого промаха. Такой трёхсекундный тест стоит делать перед переносом ответа в бланк.