Задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу — второй большой жанр текстовых задач после движения. Сюжет один и тот же в тысячах формулировок: насосы наполняют бассейн, бригады строят дом, программисты пишут код. Вся математика жанра — одна строка: производительность равна работе, делённой на время, $p=\frac{A}{t}$, а производительности складываются. Ключевой приём, без которого задачи не решаются красиво, — считать весь объём работы за единицу: один бассейн, один заказ, одно поле.

Почему складываются производительности, а не времена — суть жанра. Если первый печатает рукопись за 12 часов, а второй за 6, то вместе им нужно не 9 и не 18, а 4 часа: за час они делают $\frac{1}{12}+\frac{1}{6}=\frac{1}{4}$ рукописи. Время работы обратно пропорционально производительности, поэтому и дроби. Отсюда же мгновенная проверка любого ответа: время совместной работы обязано быть меньше времени самого быстрого одиночки — всегда, без исключений.

Структура решения почти всегда одинаковая: объём равен единице, каждая строка задачи даёт производительность $\frac{1}{t_i}$, а сюжет превращает сумму или разность этих дробей в уравнение. Усложнения стандартные: участники включаются по очереди, где-то происходит утечка с отрицательной производительностью, объём задан процентами. Ниже — классификация, алгоритм и два примера: с квадратным уравнением и с участками времени.

Классификация: 5 подтипов#

Метод: объём равен единице#

1. 1
   Объявите весь объём работы единицей: один бассейн, один заказ, одно поле. Если объём дан в штуках — можно и в штуках, но с единицей дроби проще.
2. 2
   Выпишите производительности: работник, справляющийся за $T$ часов, делает $\frac{1}{T}$ в час.
3. 3
   Переведите сюжет в уравнение: совместная работа — сумма производительностей, очередность — сумма долей по участкам времени, утечка — вычитание.
4. 4
   Решите уравнение; если вышло квадратное — отбракуйте корни по смыслу: время положительно и больше разницы из условия.
5. 5
   Ответьте ровно на вопрос: спрашивают время — делите объём на производительность, спрашивают «кто быстрее» — сравнивайте дроби.
6. 6
   Проверьте двумя способами: вместе быстрее самого быстрого и подстановка в сюжет по участкам времени.

Разобранный пример 1: найти каждого#

Первый работник выполняет заказ на 6 часов дольше второго. Работая вместе, они выполняют заказ за 4 часа. За сколько часов выполнит заказ второй работник? Классическая постановка с квадратным уравнением.

1. 1
   Пусть второй делает заказ за $t$ часов, тогда первый за $t+6$.
2. 2
   Производительности: $\frac{1}{t}$ и $\frac{1}{t+6}$; вместе за час $\frac{1}{4}$ заказа.
3. 3
   Уравнение: $\frac{1}{t}+\frac{1}{t+6}=\frac{1}{4}$. Общий знаменатель: $\frac{2t+6}{t(t+6)}=\frac{1}{4}$.
4. 4
   Крест-накрест: $4(2t+6)=t^2+6t\Rightarrow t^2-2t-24=0$.
5. 5
   Корни по Виету: $6$ и $-4$; отрицательный отбрасываем. Ответ: второй — за 6 часов, первый — за 12.
6. 6
   Проверка: $\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{2}{12}+\frac{1}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$ — вместе действительно 4 часа.

Разобранный пример 2: очередность работы#

Первый насос наполняет бассейн за 6 часов, второй — за 4. Сначала два часа работал только первый, затем включили второй. Через сколько часов после включения второго бассейн наполнится? Здесь ключ — баланс долей, а не сумма времён.

1. 1
   Первые два часа первый накачал $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ бассейна.
2. 2
   Осталось наполнить $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ бассейна.
3. 3
   Совместная производительность: $\frac{1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{2}{12}+\frac{3}{12}=\frac{5}{12}$ бассейна в час.
4. 4
   Время: $\frac{2/3}{5/12}=\frac{2}{3}\cdot \frac{12}{5}=\frac{8}{5}=1,6$ часа, то есть 1 час 36 минут.
5. 5
   Проверка балансом: $\frac{1}{3}+1,6\cdot \frac{5}{12}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$ — бассейн полон.

Типичные ошибки#

• Складывают или усредняют времена вместо производительностей.
• Забывают отбраковать отрицательный корень квадратного уравнения.
• На участках очередности делят всё время на совместную производительность, хотя первую часть работал один.
• Потерян минус у утечки — ответ выходит правдоподобным и не вызывает подозрений.
• Не отвечают на вопрос задачи: нашли производительность, а спрашивали часы.

Проверьте себя#

Что смотреть дальше#

1. Пошаговые схемы текстовых задач — разбор как решать СЛАУ.
2. ОДЗ дробно-рациональных уравнений — разбор как найти область определения.
3. Системы уравнений из двух работников — термин система линейных уравнений.
4. Квадратные уравнения в задачах на «найти каждого» — термин квадратное уравнение.
5. Смежный жанр с той же техникой — тип задач движение.
6. Тренажёр по системам — тренажёр СЛАУ.

Смотрите на размерности и здравый смысл: если два экскаватора копают котлован за 6 и 4 часа по отдельности, вместе они справятся быстрее, чем каждый, — ответ обязан быть меньше 4 часов. Формула $\frac{1}{\frac{1}{6}+\frac{1}{4}}=2,4$ часа проходит проверку: $2,4<4$. Если получилось «вместе дольше, чем по отдельности» — ищите минус в знаменателе или перепутанные роли: одна труба сливает, другая наливает, тогда производительности вычитаются, и время может выйти сколь угодно большим.