🌊 Диффуры

Задачи на дифференциальные уравнения

Q: Чем задача Коши отличается от общего решения?

Общее решение — семейство функций с параметром $C$: оно описывает все решения сразу. Задача Коши добавляет начальное условие $y(x_0) = y_0$, из которого константа находится однозначно — ответ становится конкретной функцией. На экзамене спрашивают чаще всего второе: без условия ответ считается неполным.

Q: Что делать с кратными и комплексными корнями характеристического уравнения?

Кратный корень $k$ даёт пару $e^{kx}$ и $xe^{kx}$. Комплексная пара $\alpha \pm \beta i$ даёт $e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)$. В обоих случаях общее решение — линейная комбинация двух линейно независимых ветвей, и проверка подстановкой работает так же.

Как распознать тип дифференциального уравнения за минуту: простейшие, разделяющиеся переменные, линейные первого порядка, Бернулли и линейные второго порядка. Разбор задачи Коши с интегрирующим множителем и генератор задач.

Сложность: Продвинутый 5 уровней сложности бесконечный поток задач

Дифференциальное уравнение — уравнение, в котором неизвестна не переменная, а функция: известна её производная, а найти нужно саму функцию. Это язык всех процессов с изменением: остывание кофе, радиоактивный распад, рост популяции, затухание колебаний. На экзамене по соответствующему курсу задача на ДУ — гарантированный номер, и начинается она не с интегрирования, а с распознавания типа. Определения — в термине дифференциальное уравнение и уроке ДУ первого порядка: основы.

Девять десятых экзаменационных задач проходят по одному маршруту: взглянули на уравнение — определили тип — применили к нему единственный подходящий метод. Простейшие $y^{'} = f (x)$ интегрируются сразу, уравнения с разделяющимися переменными раскладываются на множители, линейные первого порядка лечатся интегрирующим множителем, Бернулли — заменой, линейные второго порядка с постоянными коэффициентами — характеристическим уравнением.

Ниже — таблица-распознавалка, подробно разобранная задача Коши, разбор ошибок и встроенный тренажёр, генерирующий уравнения всех пяти типов.

Геометрическая интуиция здесь спасает от механических ошибок. Решение уравнения — не число, а кривая: производная в каждой точке задаёт наклон касательной, то есть уравнение рисует поле направлений, а решение вьётся по этому полю. Общее решение — семейство кривых, начальное условие выбирает из него одну. Например, у $y^{'} = y$ семейство $y = C e^{x}$ , и условие $y (0) = 4$ назначает кривую с $C = 4$ : не «плюс четыре», а именно множитель.

Классификация: 5 подтипов#

Подтип	Как узнать	Метод решения
Простейшее $y^{'} = f (x)$	в правой части только $x$ , сама $y$ не встречается	прямое интегрирование: $y = \int f (x) d x + C$
С разделяющимися переменными	$y^{'} = f (x) g (y)$ — правую часть можно разложить на множители	$\frac{d y}{g ( y )} = f (x) d x$ : соберите $y$ слева, $x$ справа, интегрируйте обе стороны
Линейное 1-го порядка	$y^{'} + p (x) y = q (x)$ : $y$ и $y^{'}$ в первой степени, без произведений $y y^{'}$	интегрирующий множитель $μ = e^{\int p d x}$ или подстановка $y = uv$
Уравнение Бернулли	как линейное, но справа множитель $y^{n}$	замена $z = y^{1 - n}$ сводит к линейному уравнению
Линейное однородное 2-го порядка	$y^{''} + p y^{'} + q y = 0$ с постоянными коэффициентами	характеристическое $k^{2} + p k + q = 0$ : корни задают вид решения

Маршрут распознавания: сначала «есть ли

y

справа?», затем «в какой степени?»

Разобранный пример#

Разберём типовую экзаменационную связку — линейное уравнение первого порядка плюс начальное условие: $y^{'} + 2 y = e^{x}$ , $y (0) = 1$ . Первый шаг всегда один: опознать тип. Здесь слева $y^{'}$ и $y$ в первой степени, справа функция от $x$ — линейное уравнение первого порядка с $p (x) = 2$ , $q (x) = e^{x}$ .

Тип подтверждён: линейное уравнение $y^{'} + p (x) y = q (x)$ , коэффициент $p = 2$ — константа, и это упрощает интегрирующий множитель.
Интегрирующий множитель: $μ (x) = e^{\int p d x} = e^{2 x}$ .
Умножаем уравнение на $μ$ : $e^{2 x} y^{'} + 2 e^{2 x} y = e^{3 x}$ . Слева — производная произведения: $(y e^{2 x})^{'} = e^{3 x}$ .
Интегрируем обе стороны: $y e^{2 x} = \int e^{3 x} d x = \frac{1}{3} e^{3 x} + C$ .
Делим на $e^{2 x}$ — получаем общее решение: $y = \frac{1}{3} e^{x} + C e^{- 2 x}$ .
Начальное условие $y (0) = 1$ : подставляем $x = 0$ , получаем $\frac{1}{3} + C = 1$ , значит $C = \frac{2}{3}$ .
Проверка: $y^{'} = \frac{1}{3} e^{x} - \frac{4}{3} e^{- 2 x}$ , и $y^{'} + 2 y = \frac{1}{3} e^{x} - \frac{4}{3} e^{- 2 x} + \frac{2}{3} e^{x} + \frac{4}{3} e^{- 2 x} = e^{x}$ — уравнение выполнено.

Два наблюдения к решению. Константа $C$ появилась на шаге интегрирования и исчезла на шаге с начальным условием — в задаче Коши ответ обязан быть конкретной функцией, без «плюс $C$ ». И проверка подстановкой заняла одну строку: это самая дешёвая страховка на экзамене.

y^{'} + p (x) y = q (x) \Rightarrow y = \frac{\int μ ( x ) q ( x ) d x + C}{μ ( x )}, μ (x) = e^{\int p (x) d x}

универсальный рецепт линейного уравнения первого порядка: множитель превращает левую часть в производную произведения

Для линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами $y^{''} + p y^{'} + q y = 0$ метод один — характеристическое уравнение $k^{2} + p k + q = 0$ , но у него три сценария корней. Различные вещественные $k_{1} \neq = k_{2}$ дают $y = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$ ; кратный корень $k$ — $y = (C_{1} + C_{2} x) e^{k x}$ ; комплексная пара $α \pm β i$ — $y = e^{α x} (C_{1} cos β x + C_{2} sin β x)$ . Три строки этой памятки покрывают весь экзаменационный блок второго порядка, а вывод корней — обычная дискриминанта.

Типичные ошибки#

Потеряна константа $C$ после интегрирования. Без $+ C$ ответ описывает одно решение семейства, а не общее решение — на проверке это первое, что заметит преподаватель.
Константа не найдена из начального условия. Записать $y = \frac{1}{3} e^{x} + C e^{- 2 x}$ и остановиться — значит не решить поставленную задачу: условие $y (0) = 1$ дано, чтобы $C$ найти.
Знак в интегрирующем множителе. Для $y^{'} + p y = q$ множитель равен $e^{\int p d x}$ , а не $e^{- \int p d x}$ ; с минусом левая часть перестаёт быть производной произведения.
Кратный корень без множителя $x$ . Если характеристическое уравнение даёт $k_{1} = k_{2} = k$ , решение — $(C_{1} + C_{2} x) e^{k x}$ ; второе слагаемое без $x$ — это дубль первого.
Ответ не проверен подстановкой. Одна строка дифференцирования против потерянного балла — самый выгодный обмен на экзамене.

Проверь себя+15 XP

Найдите общее решение уравнения $y^{'} = 5 y$ .

Проверь себя+15 XP

Характеристическое уравнение для $y^{''} + 4 y^{'} + 4 y = 0$ имеет корень $k = - 2$ кратности 2. Каково общее решение?

Тренируйся: встроенный тренажёр#

Генератор на этой странице смешивает все пять типов и просит прежде всего распознать, с чем имеете дело. Уровни растут по сложности: от простейших $y^{'} = f (x)$ через задачу Коши и линейные уравнения первого порядка к Бернулли и линейным уравнениям второго порядка. Каждая задача идёт с подсказкой и полным разбором, поэтому неверный выбор метода — не провал, а урок: сверьтесь с разбором и вернитесь к таблице классификации. Отдельный тренажёр по дифференциальным уравнениям даёт те же задачи в режиме безостановочной практики. Полезный режим: прочитайте вопрос и назовите тип, не решая, — и только потом сверяйтесь с подсказкой. Точность распознавания важнее скорости счёта: счёт подтянется сам, а вот привычка видеть тип формируется только осознанной практикой.

Частые вопросы

Чем задача Коши отличается от общего решения?

Общее решение — семейство функций с параметром $C$ : оно описывает все решения сразу. Задача Коши добавляет начальное условие $y (x_{0}) = y_{0}$ , из которого константа находится однозначно — ответ становится конкретной функцией. На экзамене спрашивают чаще всего второе: без условия ответ считается неполным.

Как понять, какой метод применять?

По виду уравнения, за минуту: $y$ отсутствует справа — интегрируем; $y^{'} = f (x) g (y)$ — разделяем переменные; $y$ и $y^{'}$ в первой степени — линейное, интегрирующий множитель; появился множитель $y^{n}$ — Бернулли; есть $y^{''}$ с постоянными коэффициентами — характеристическое уравнение. Таблица классификации выше закрывает типовой экзамен.

Что делать с кратными и комплексными корнями характеристического уравнения?

Кратный корень $k$ даёт пару $e^{k x}$ и $x e^{k x}$ . Комплексная пара $α \pm β i$ даёт $e^{α x} (C_{1} cos β x + C_{2} sin β x)$ . В обоих случаях общее решение — линейная комбинация двух линейно независимых ветвей, и проверка подстановкой работает так же.

Зачем дифференциальные уравнения вне математики?

Любой закон «скорость изменения пропорциональна величине» — это ДУ: радиоактивный распад, остывание по Ньютону, рост вклада с процентами, разряд конденсатора. Линейные уравнения второго порядка описывают колебания — от маятника до контура. Решив уравнение, вы получаете прогноз процесса во времени.

Что смотреть дальше#

Урок ДУ первого порядка: основы — что значит «решить уравнение».
Урок разделяющиеся переменные — первый настоящий метод.
Урок линейные ДУ и уравнение Бернулли — интегрирующий множитель и замена.
Урок линейные однородные ДУ — характеристическое уравнение и все три случая корней.
Разбор как решать дифференциальные уравнения — дерево типов на одной странице.
Термины характеристическое уравнение и уравнение Бернулли — формальные определения.
Шпаргалка по дифференциальным уравнениям и тренажёр по ДУ — формулы и практика рядом.

Практика: встроенный тренажёр

+12 XP за верный ответ

Другие типы задач