🌊 Диффуры

Уравнение Бернулли

англ. Bernoulli differential equation

Нелинейное ДУ первого порядка y' + P(x)·y = Q(x)·yⁿ, которое одним хитрым заменом сводится к линейному уравнению.

Среди нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка уравнение Бернулли — первое, которое учатся укрощать. Оно выглядит почти линейным, но степень $n$ при $y$ в правой части ломает линейность: $y^{'} + P (x) y = Q (x) y^{n}$ . При $n = 0$ это обычное линейное уравнение, при $n = 1$ — тоже (правые части делятся на $y$ ), поэтому нетривиальны именно $n \neq = 0, 1$ — типичные значения 2 и 3, а также дробные вроде $1/2$ .

y^{'} + P (x) y = Q (x) y^{n}, n \neq = 0, 1

замена

z = y^{1 - n}

превращает Бернулли в линейное уравнение относительно

z

— степень исчезает

Почему замена работает: делим всё уравнение на $y^{n}$ и делаем подстановку $z = y^{1 - n}$ . Тогда $z^{'} = (1 - n) y^{- n} y^{'}$ , и левая часть после деления ровно совпадает с $z^{'} / (1 - n)$ . Уравнение превращается в линейное $z^{'} + (1 - n) P (x) z = (1 - n) Q (x)$ , которое решается интегрирующим множителем или подстановкой $z = uv$ . Решив его, возвращаемся к $y$ обратной заменой $y = z^{1/ (1 - n)}$ . Всё хитрое — в одном шаге; дальше — стандартная техника из арсенала линейных ДУ.

Разобрали уравнение Бернулли по частям

Нажимай на части!

Каждая часть формулы кликабельна — под ней появится объяснение её роли. Так формулы перестают быть кашей из символов.

Нажмите на любую часть формулы выше

Быстрый пример: $y^{'} - y = x y^{2}$ . Здесь $P = - 1$ , $Q = x$ , $n = 2$ . Делим на $y^{2}$ : $y^{'} / y^{2} - 1/ y = x$ . Замена $z = y^{- 1}$ : $z^{'} = - y^{'} / y^{2}$ , значит $- z^{'} - z = x$ , то есть $z^{'} + z = - x$ . Линейное уравнение: интегрирующий множитель $e^{x}$ , $(z e^{x})^{'} = - x e^{x}$ , $z e^{x} = - (x - 1) e^{x} + C$ , $z = 1 - x + C e^{- x}$ . Возвращаемся: $1/ y = 1 - x + C e^{- x}$ , то есть $y = 1/ (1 - x + C e^{- x})$ . Проверка подстановкой убеждает: нелинейность исчезла, ответ честный.

Исторически Якоб Бернулли вывел уравнение в 1695 году, а решать его научились заменой — этот приём стал одним из первых примеров «нелинейное → линейное» в истории анализа. Бернулли описывает процессы с квадратичным (или степенным) откликом: разряд конденсатора с нелинейной утечкой, рост популяции с конкуренцией (логистическая модель — частный случай), демография, кинетика реакций. Отработать решение — в тренажёре дифференциальных уравнений, формулы и приёмы — в шпаргалке по ДУ, а полный урок первого порядка — основы ДУ первого порядка.

Частые вопросы

Что делать при n = 0 или n = 1?

Уравнение вырождается в линейное: при n = 0 правая часть просто Q(x), при n = 1 после деления на y левая и правая части складываются в одно линейное уравнение. Замена z = y^{1-n} формально тоже сработает (даст z = y или z = const), но в ней нет нужды — решайте как обычное линейное ДУ.

Всегда ли нужен именно интегрирующий множитель?

Нет — линейное уравнение относительно z можно решать любым способом: интегрирующим множителем e^{∫P dx}, подстановкой z = uv (метод Бернулли), или вариацией постоянной. Выбирайте, что быстрее для конкретных P(x) и Q(x); структура решения одна и та же.

Можно ли потерять решения при делении на y^n?

Да! Деление на y^n молчаливо предполагает y ≠ 0. Проверьте y = 0 отдельно: часто это тоже решение (тривиальное). На экзамене упоминание «и тривиальное решение y ≡ 0» отличает аккуратный ответ от формального.