📈 Матанализ

Тест по математическому анализу: проверь курс за 15 вопросов

Диагностический тест по математическому анализу: 15 вопросов по пределам, производным, интегралам и рядам с разбором каждого ответа и шкалой самопроверки.

Сложность: Первый курс 5 уровней сложности бесконечный поток задач

Тест по математическому анализу — быстрый способ понять, где вы находитесь в самом объёмном курсе первого семестра. Матанализ накапливается как снежный ком: пределы нужны для производных, производные для интегралов, всё вместе — для рядов и функций нескольких переменных, и провал в одной опоре качает всю башню. Этот тест построен именно как диагностика: двенадцать вопросов с вариантами ответа прямо на странице охватывают четыре ключевых раздела — пределы, дифференцирование, интегрирование, ряды и функции нескольких переменных, — а финальные три практических задания вы получите от встроенного генератора в конце страницы.

Каждый вопрос — с объяснением. После выбора вы увидите не только «верно/неверно», но и почему дистрактор (неправильный вариант) правдоподобен: варианты собраны из реальных ошибок — потерянная внутренняя производная, перепутанный порядок кривых, первообразная вместо числа. Такой формат превращает тест в мини-урок: даже при неверном ответе вы забираете со страницы конкретное правило. Теория по каждой теме лежит в курсе математический анализ, а здесь — проверка целиком.

Отличие теста от тренажёра принципиально. Тренажёр производных и другие генераторы качают один навык бесконечным потоком однотипных задач; тест же за двадцать минут рисует карту всего курса и показывает, какой раздел пора открыть. Рекомендуемая схема: тест → разбор ошибок → точечное повторение слабых тем → тест снова через несколько дней.

Как устроен тест: инструкция#

Формат ближе к зачёту, чем к ЕГЭ: калькулятор не нужен, вся арифметика намеренно простая, зато ловушки — концептуальные. Считайте, что вы на пробном экзамене: отвечайте сначала без подглядываний, фиксируйте вопросы, где колебались больше десяти секунд, — колебание тоже сигнал пробела, даже если финальный ответ оказался верным.

Пройдите все двенадцать вопросов подряд, не подглядывая в конспекты и таблицы производных: тест проверяет именно память под давлением, как на контрольной.
Отмечайте для себя каждый вопрос, где вы «угадали между двумя вариантами» — это скрытые пробелы, они попадают в план повторения наравне с ошибками.
Просмотрите разбор каждого дистрактора: понимание типичной ошибки защищает лучше, чем заучивание верного ответа.
Решите три практических задания от встроенного генератора в конце страницы — это вопросы 13–15 финального счёта.
Посчитайте балл по шкале ниже и откройте одну-две темы, куда указали ошибки: цель теста — не оценка, а короткий план действий.
Повторите тест через 3–5 дней: прогресс между попытками — честный индикатор, что материал закрепился, а не просто вспомнился.

Набрано из 15	Диагноз	Что делать
0–6	Опоры проскрипят: базовые определения плавают	Начать с пределов и таблицы производных, идти по курсу по порядку
7–10	База есть, но пробелы точечные — обычно интегралы или ряды	Прорешать слабый раздел в тренажёре, перечитать разборы ошибок
11–13	Уверенный уровень, курс в основном закрыт	Добить оставшиеся вопросы и перейти к задачам повышенной сложности
14–15	Готовность к контрольной и зачёту	Поддерживать форму регулярным тренажёром и задачами на оптимизацию

Шкала ориентировочная: вес имеют не только ошибки, но и колебания

Часть 1. Пределы (вопросы 1–3)#

Пределы — пропуск в весь курс, поэтому тест открывается ими. Три классических сюжета: отношение многочленов на бесконечности, первый замечательный предел на нуле и второй замечательный предел вида $1^{\infty}$ . Если эти три вопроса вызвали заминку, вернитесь к уроку предел функции — дальше без них двигаться тяжело.

Проверь себя+10 XP

Вопрос 1. Чему равен $x \to \infty lim \frac{3 x ^{2} - x + 5}{2 x ^{2} + x}$ ?

Проверь себя+10 XP

Вопрос 2. Чему равен $x \to 0 lim \frac{sin 5 x}{3 x}$ ?

Проверь себя+12 XP

Вопрос 3. Чему равен $x \to \infty lim (1 + \frac{3}{x})^{x}$ ?

Часть 2. Производные и касательная (вопросы 4–6)#

Дифференцирование — самый нагруженный навык курса: без него не работают ни исследование функций, ни оптимизация, ни интегрирование по частям. Три вопроса ниже закрывают правило произведения, цепное правило и уравнение касательной — три источника, питающие половину контрольных заданий. Таблица производных для сверки — в шпаргалке.

Проверь себя+12 XP

Вопрос 4. Чему равна производная $f (x) = x^{3} ln x$ при $x > 0$ ?

Проверь себя+10 XP

Вопрос 5. Чему равна производная $f (x) = sin (2 x + 1)$ ?

Проверь себя+12 XP

Вопрос 6. Составьте уравнение касательной к $f (x) = x^{2} - 2 x$ в точке $x_{0} = 3$ .

Касательная под вашим пальцем

Тащи точку!

Схватите точку на кривой $y = y = x^{2} - 2 x$ и потащите — касательная (зелёная) всегда показывает мгновенную скорость. Включите «секущую», чтобы увидеть, как при уменьшении $h$ секущая поворачивается в касательную: в этом и есть предел $l i m_{h \to 0} \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h}$ .

x₀

3.00

f(x₀)

3.00

f′(x₀) — касательная

4.000

Заметьте: там, где кривая круче, касательная — круче. Производная и есть «крутизна».

Часть 3. Интегралы (вопросы 7–9)#

Интегральный блок проверяет три навыка: честное применение формулы Ньютона — Лейбница, геометрический смысл определённого интеграла и умение дифференцировать интеграл с переменным верхним пределом — конструкцию, которая регулярно всплывает в билетах. Формальная база — урок определённый интеграл и термин формула Ньютона — Лейбница.

Проверь себя+12 XP

Вопрос 7. Чему равно $\int_{0}^{1} (3 x^{2} + 2 x) d x$ ?

Проверь себя+15 XP

Вопрос 8. Найдите площадь фигуры, ограниченной кривыми $y = 3 x$ и $y = x^{2}$ .

Проверь себя+15 XP

Вопрос 9. Пусть $F (x) = \int_{2}^{x} t cos t d t$ . Чему равна $F^{'} (x)$ ?

Сумма Римана: из чего состоит интеграл

Двигай n!

Кривая $y = y = x^{2}$ . Увеличивайте число прямоугольников $n$ — ступенчатая фигура прижимается к кривой, а её площадь стремится к настоящему интегралу. Это определение $\int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ x_{i}$ .

Число прямоугольников n6

Σ площадь

2.648

∫ точно

2.667

Ошибка

0.69%

При n = 200 разница с точным значением почти незаметна — вот почему интеграл «работает».

Часть 4. Ряды и функции нескольких переменных (вопросы 10–12)#

Финальная четверть теста смотрит в конец первого курса: сходимость числовых рядов, градиент функции двух переменных и ряд Тейлора для экспоненты. Эти темы чаще всего остаются «недочитанными» к сессии — и именно они дают вопросы в билетах. Теория: уроки числовые ряды и частные производные и градиент.

Проверь себя+12 XP

Вопрос 10. Сходится ли ряд $n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2}}$ ?

Проверь себя+12 XP

Вопрос 11. Найдите градиент функции $f (x, y) = x^{2} y$ в точке $(2; 3)$ .

Проверь себя+10 XP

Вопрос 12. Каков коэффициент при $x^{3}$ в разложении Тейлора функции $e^{x}$ ?

Карточки для повторения#

Шесть формул, на которых держались вопросы теста. Закройте ответ, вспомните формулировку, переверните карточку. Если какая-то карточка вызвала паузу дольше десяти секунд — эта формула кандидат на первое место в плане повторения.

Шесть опорных формул матанализа

Знаю: 0/6

Кликните карточку, чтобы перевернуть. Отмечайте выученное — счётчик в шапке покажет прогресс.

1 / 6

Первый замечательный предел

Типичные ошибки, на которых построены дистракторы#

Производная произведения в одно слово. $(x^{3} ln x)^{'} = 3 x^{2} ln x$ — первое слагаемое есть, второе исчезло. Правило произведения требует двух слагаемых всегда.
Первую часть — да, вторую — нет. $\int 2 x d x = 2 x^{2}$ : множитель внесён, но деление на новую степень забыта. Проверка: дифференцируйте первообразную обратно, должен вернуться исходный множитель.
Порядок кривых «на глаз». В площади между кривыми разность берётся «верхняя минус нижняя»; отрицательный ответ — не досадная мелочь, а точный указатель на перепутанный порядок.
Ответ-функция вместо ответа-числа. Градиент $(2 x y; x^{2})$ без подстановки точки, первообразная $x^{3} + x^{2}$ вместо значения интеграла: вопрос был про число, ответьте числом.
Пограничные ряды. $\sum \frac{1}{n}$ расходится, $\sum \frac{1}{n ^{2}}$ сходится — разница в одной единице степени. Помните, что граница проходит по $p = 1$ .

Что делать с результатом#

Балл — не приговор, а координата. Ошибки в первых двух частях при чистом финише — типичный сюжет «уверенного ускорителя»: человек быстро считает интегралы, но плавает в определениях, и на устном зачёте именно определения спросят первыми. Обратный профиль (пределы чисто, ряды — нет) обычно означает, что курс просто ещё не дочитан: это нормальная ситуация в середине семестра.

Что смотреть дальше#

Полный курс с нуля — математический анализ по темам от последовательностей до рядов.
Слабое место «производные» — тип задач задачи на производные с генератором и разбором подтипов.
Слабое место «интегралы» — тренажёр интегралов с бесконечным потоком задач.
Компактные алгоритмы — разбор как решать пределы и как исследовать функцию.
Формулы под рукой — шпаргалка по пределам и таблица производных.
Термины для зачёта — предел, производная, экстремум.

Частые вопросы

Почему вопросов пятнадцать, а на странице двенадцать?

Тест рассчитан на пятнадцать вопросов, но последние три — практические: их выдаёт встроенный генератор задач в конце страницы. Это честнее, чем статичные вопросы: генератор не позволит подсмотреть ответ в предыдущей попытке, и каждый прогон даёт свежую тройку заданий.

Можно ли пользоваться калькулятором?

Можно, но бессмысленно: все числа подобраны так, чтобы арифметика укладывалась в устный счёт. Тест проверяет не вычислительную мощь, а знание правил: где ставить множитель, когда делить на новую степень, что сравнивать при поиске наибольшего значения.

Чем этот тест отличается от тренажёров?

Тренажёр качает один навык: сотни однотипных задач на производную или предел с ростом сложности. Тест — диагностика всего курса: за двадцать минут он показывает, какой раздел проседает, и тем самым экономит недели бессистемной практики. Идеальная связка — тест для навигации, тренажёр для прокачки.

Какой балл считается хорошим?

Для середины первого семестра нормальными считаются 8–10 баллов: часть тем ещё впереди по расписанию. К зачёту и контрольной стоит целиться в 12+, причём стабильно, в двух попытках с разницей в несколько дней. Разовый высокий балл на свежей памяти обманчив.

Практика: встроенный тренажёр

+12 XP за верный ответ

Другие типы задач