Числовые ряды: сходимость, признаки Даламбера и сравнения

Возьмите отрезок, отломите половину. Отломите половину остатка. Повторяйте. Сколько длины вы отломите, если продолжать вечно? Очевидный ответ: весь отрезок. Но за этой очевидностью прячется математическое утверждение: $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots =1$. Числовой ряд — это сумма бесконечного числа слагаемых, и главный сюрприз темы в том, что такая сумма иногда сходится к конечному числу, а иногда улетает в бесконечность. Вопрос «которая из двух» — центральный вопрос всего раздела.

Ряд и его частичные суммы#

Пусть задана бесконечная последовательность чисел $a_1,a_2,a_3,\dots$. Числовым рядом называется выражение ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n=a_1+a_2+a_3+\dots$. Складывать бесконечно много чисел «за один присест» нельзя — зато можно складывать постепенно. Частичная сумма $S_n$ — это сумма первых $n$ слагаемых: $S_1=a_1$, $S_2=a_1+a_2$, и так далее. Получается обычная последовательность $S_1,S_2,S_3,\dots$

Ряд сходится, если у частичных сумм есть конечный предел $S$ — он называется суммой ряда. Иначе ряд расходится: частичные суммы либо растут неограниченно, либо дрожат без предела. Число $r_n=S-S_n$ называют остатком ряда — это ошибка, которую мы допускаем, обрывая сумму на $n$-м слагаемом; для вычислений она не менее важна, чем сама сумма.

Для геометрической прогрессии всё считается в явном виде: $S_n=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}=2-\frac{1}{2^{n-1}}$. Члены идут к единице с замедлением, хвост тает — предел ровно 2. Тот же ряд, начатый с $\frac{1}{2}$, сходится к 1. Потрогайте, как частичные суммы прилипают к горизонтали:

Необходимое условие: слагаемые обязаны гаснуть#

Прежде чем изучать ряд целиком, смотрите на его слагаемые. Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю: ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$. Интуиция честная: чтобы сумма остановилась, каждое новое слагаемое должно быть слишком мало, чтобы сдвинуть её с места.

Это условие необходимое, но не достаточное — и обратная сторона ловит студентов на каждом экзамене. Гармонический ряд ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots$ имеет слагаемые, стремящиеся к нулю, — и всё равно расходится. Николя Орем доказал это ещё в XIV веке группировкой:

Признаки сходимости: арсенал#

Если слагаемые гаснут, вопрос «сходится или нет» решают признаки. Признак сравнения: если $0\le a_n\le b_n$ и ряд из $b_n$ сходится, то и ряд из $a_n$ сходится; если ряд из $a_n$ расходится и $b_n\ge a_n$, то расходится и ряд из $b_n$. Интуиция механическая: сумма не может стать больше, чем у ряда с заведомо крупными слагаемыми. Предельные форма удобнее: если $\frac{a_n}{b_n}\to k$, $0<k<\infty$, ряды ведут себя одинаково.

Эталоном служит обобщённый гармонический ряд $\sum \frac{1}{n^p}$: при $p>1$ он сходится, при $p\le 1$ расходится. Степень в знаменателе решает всё: $\sum \frac{1}{n^2}$ сходится (сумма равна $\frac{{\pi }^2}{6}\approx 1.645$ — знаменитая Базельская задача Эйлера), $\sum \frac{1}{n}$ расходится, $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ расходится, а $\sum \frac{1}{n^{1.1}}$ сходится — хотя слагаемые при больших $n$ почти не отличить от гармонических. Граница между жизнью и смертью проходит прямо по $p=1$.

Признак Даламбера — рабочий инструмент для рядов с факториалами и степенями. Смотрим отношение соседних членов:

Пример: ряд $\sum \frac{2^n}{n!}$. Отношение $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{2^n}=\frac{2}{n+1}\to 0<1$ — ряд сходится, причём его сумма известна: $1+{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{2^n}{n!}=e^2$, значит сумма ряда равна $e^2-1\approx 6.389$. Факториал в знаменателе растёт быстрее любой степени — почти все такие ряды Даламбер осудит как сходящиеся. Есть и радикальный признак Коши: $\sqrt[n]{|a_n|}\to \rho$ — те же выводы; он выручает там, где член уже является $n$-й степенью.

Для знакочередующихся рядов, где слагаемые меняют знак, есть отдельный критерий — признак Лейбница: если модули членов монотонно убывают и стремятся к нулю, ряд сходится. Классика: $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots =\ln 2\approx 0.693$. Причём сходится он лишь условно: ряд из модулей — это расходящийся гармонический. Отсюда важная пара терминов: абсолютная сходимость (сходится ряд из модулей) сильнее и надёжнее условной — условно сходящийся ряд меняет сумму от перестановки слагаемых.

Сходящиеся ряды дружат с арифметикой: если $\sum a_n=A$ и $\sum b_n=B$, то $\sum (a_n\pm b_n)=A\pm B$, а $\sum c{a}_n=cA$ при любой константе $c$. Пример на два кармана: ${\sum }_{n=1}^{\infty }\left(\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}\right)=1+\frac{1}{2}=1.5$ — каждый геометрический кусок посчитан по своей формуле. Расходимость при этом заразна: сумма сходящегося и расходящегося рядов расходится всегда.

Предельная форма признака сравнения — самый быстрый способ разобрать дроби с многочленами. Ряд $\sum \frac{1}{n^2+n}$ сравним с $\sum \frac{1}{n^2}$: отношение $\frac{1/(n^2+n)}{1/n^2}=\frac{n^2}{n^2+n}\to 1$, поведение одинаковое — ряд сходится. Правило большого пальца: оставьте старшие степени числителя и знаменателя — на бесконечности правду говорит только они.

1. 1
   Проверить $a_n\to 0$: не выполнено — ряд расходится, разговор окончен
2. 2
   Геометрический или степенной вид? Сравнить по $q$ или по $p$
3. 3
   Дроби с многочленами в члене — предельное сравнение по старшим степеням
4. 4
   Факториалы, степени и произведения — признак Даламбера
5. 5
   Знакочередующийся ряд — признак Лейбница, затем вопрос об абсолютной сходимости

Геометрический ряд: единственная формула суммы#

Ряд ${\sum }_{n=0}^{\infty }{q}^n$ при $|q|<1$ сходится, и его сумма считается в явном виде: $S=\frac{1}{1-q}$. Для ряда, начинающегося с $q$, сумма $\frac{q}{1-q}$. При $|q|\ge 1$ ряд расходится: слагаемые не гаснут. Покрутите знаменатель $q$ и посмотрите, как частичные суммы то останавливаются у горизонтали, то срываются вверх:

Отсюда знаменитый арифметический факт: $0.9999\cdots =1$. Запись $0.9999\dots$ — это ряд ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{9}{10^n}=9\cdot \frac{1/10}{1-1/10}=9\cdot \frac{1}{9}=1$. Не «почти единица» — ровно единица: два способа записи одного числа. Геометрический же ряд стоит за периодическими дробями, за дисконтированием платежей в финансах и за вероятностными расчётами: среднее число попыток до первого успеха находится суммой ряда с весами $n{q}^{n-1}(1-q)$ — методика разобрана в статье про математическое ожидание.

• Ряд — предел частичных сумм; сходится ⇔ частичные суммы имеют конечный предел
• Сначала проверяем $a_n\to 0$ (не выполнено — расходится сразу), затем применяем признаки
• Эталоны сравнения: $\sum \frac{1}{n^p}$ ($p>1$ сходится) и геометрический ряд $\sum q^n$ ($|q|<1$)
• Даламбер — для факториалов и степеней, Коши радикальный — для $n$-х степеней, Лейбниц — для знакочередующихся
• Абсолютная сходимость сильнее условной; остаток $r_n$ — цена обрыва суммы в вычислениях

Ряды — прямое продолжение темы последовательностей: та же логика предела, только на неё натянуты частичные суммы. Если определения предела нужно освежить, вернитесь к урокам предел последовательности и числовые последовательности; термин ряд разобран в словаре, а число e появится снова — уже как сумма ряда в следующем уроке о степенных рядах.

Сходимость ряда — это про поведение частичных сумм $S_n$. Посмотрите, как суммы четырёх знаменитых рядов ведут себя по-разному: три прижимаются к пределу, а гармонический медленно, но верно уходит в бесконечность.