Ряды с положительными членами: признаки сходимости — сводный разбор

Перед вами ряд $\sum \frac{n^2\cdot 3^n}{n!}$ — и на контрольной первым делом встаёт не вопрос «сходится ли», а вопрос «каким признаком это проверять». Признаков несколько, и каждый силён в своём классе членов: факториалы любят Даламбера, степени с $n$ в показателе — радикальный Коши, рациональные дроби — сравнение, а интегральный признак добивает то, что другим не по зубам. Этот урок — протокол выбора: сначала карта признаков, потом разбор типовых представителей, и в конце тестер, который считает два признака разом.

Два эталона и необходимое условие#

Вся теория сравнения стоит на двух эталонных семействах. Первое — геометрический ряд: сумма $\sum q^n$ сходится при $q<1$ и расходится при $q\ge 1$. Второе — $p$-ряд:

Доказывается эталон интегральным признаком, который появится ниже, — а пользоваться им нужно уже сейчас: почти каждый признак сравнения прикладывает ваш ряд к $p$-ряду или прогрессии. Перед признаками всегда включайте необходимое условие: если $a_n$ не стремится к нулю, ряд расходится, и никакой признак не нужен. Только помните направление стрелки — из урока о числовых рядах: стремление членов к нулю необходимо, но недостаточно. Гармонический ряд имеет члены $\frac{1}{n}\to 0$ и при этом расходится.

Признаки сравнения#

Прямое сравнение: если $0\le a_n\le b_n$ с некоторого номера, то из сходимости ряда с большими членами $\sum b_n$ следует сходимость $\sum a_n$, а из расходимости меньшего — расходимость большего. Логика прозрачна: хвост, зажатый под сходящимся рядом, суммируется. Тонкость одна: неравенство нужно доказать, а не почувствовать.

Предельное сравнение снимает возню с неравенствами. Если отношение $\frac{a_n}{b_n}$ имеет конечный ненулевой предел, оба ряда переживают одну судьбу — сходятся или расходятся одновременно. Практически вы берёте эталон с той же главной частью скорости и считаете предел:

Пример: $\sum \frac{n+1}{n^3+2}$. Главная часть члена — $\frac{n}{n^3}=\frac{1}{n^2}$, берём эталон $b_n=\frac{1}{n^2}$. Предел отношения: $\frac{(n+1)n^2}{n^3+2}\to 1$ — конечен и ненулевой, а $p$-ряд с $p=2$ сходится, значит и наш ряд сходится. Полная версия приёма с таблицей эталонов живёт на странице предельного признака сравнения.

Признак Даламбера#

Считаем предел отношения соседей:

Причина работы: отношение соседей — это скорость геометрического затухания, и при $\rho <1$ хвост живёт под прогрессией ${\rho }^n$. Признак включается, когда в члене сидят факториалы и произведения: $(n+1)!=(n+1)n!$ гарантированно сокращается. Пример — $\sum \frac{3^n}{n!}$: отношение соседей $\frac{3^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{3^n}=\frac{3}{n+1}\to 0<1$ — сходится, и скорость затухания чудовищная: при $n=10$ член равен $\frac{59049}{3628800}\approx 0.016$. Полный алгоритм с разворотом факториалов — на странице признака Даламбера.

Радикальный признак Коши#

Когда весь член укомплектован в степень $n$, корень делает работу одним движением:

Пример: $\sum {\left(\frac{2n+1}{3n+1}\right)}^n$. Корень сразу возвращает основание: $\sqrt[n]{a_n}=\frac{2n+1}{3n+1}\to \frac{2}{3}<1$ — ряд сходится. Даламбер на этом ряде захлёбывается: отношение соседей содержит лишнюю степень $\left(\frac{2n+1}{3n+1}\right)$ с пределом $\frac{2}{3}$, но арифметика громоздче. Известно и сравнение силы: всё, что видит Даламбер, видит и радикальный Коши (корень — среднее геометрическое отношений), но не наоборот — разбор с контрпримером есть на странице радикального признака Коши.

Интегральный признак Коши#

Пусть член ряда $a_n=f(n)$, где $f$ на $[1,\infty )$ положительна, непрерывна и монотонно убывает. Тогда ряд и несобственный интеграл живут одной жизнью:

Причина видна на картинке: на каждом отрезке $[n,n+1]$ кривая убывающей функции зажата между значениями на концах, поэтому частичная сумма и интеграл отличаются не более чем на константу $a_1$. Эталонные $p$-ряды так и доказываются: интеграл ${\int }_1^{\infty }{x}^{-p}dx$ сходится при $p>1$ и расходится при $p\le 1$. Ножевая работа на конкретном ряде: $\sum \frac{1}{n\ln n}$ — интеграл ${\int }_2^{\infty }\frac{dx}{x\ln x}=\ln \ln x\to \infty$ расходится, значит и ряд расходится, хотя члены тают быстрее гармонических. Разбор с картинкой — на странице интегрального признака.

Комбинированный член — повод прогнать два признака подряд. Ряд $\sum \frac{(n!{)}^2}{(2n)!}$: факториалы зовут Даламбера. Отношение соседей $\frac{((n+1)!{)}^2}{(2n+2)!}\cdot \frac{(2n)!}{(n!{)}^2}=\frac{(n+1{)}^2}{(2n+2)(2n+1)}$, и в пределе степень числителя — вторая, знаменателя — тоже, но с коэффициентами: $\frac{1}{4}<1$ — сходится, и членов при $n=5$ уже $\frac{14400}{10!}\approx 0.0004$. Логарифмические множители, наоборот, живут в ведомстве интегрального признака: ряд $\sum \frac{1}{n{\ln }^{2}n}$ сходится, потому что интеграл ${\int }_2^{\infty }\frac{dx}{x{\ln }^{2}x}$ после замены $t=\ln x$ превращается в сходящийся $\int \frac{dt}{t^2}$. Один и тот же ряд может пройти через два прибора — ответы обязаны совпасть, и это бесплатная проверка.

Типовые ошибки#

1. Сравнение не в ту сторону: из $a_n\le b_n$ следует сходимость $\sum a_n$ только при сходящемся $\sum b_n$; прикладывать ряд к сходящемуся эталону для доказательства расходимости — логическая дыра
2. Необходимое условие принято за достаточное: «члены стремятся к нулю, значит ряд сходится» — гармонический ряд разносит эту фразу вдребезги
3. $\rho =1$ объявлено расходящимся (или сходящимся): признак молчит, нужен другой инструмент
4. В интегральном признаке пропущена проверка монотонности: без убывания зажим суммы интегралом незаконен
5. Эталон выбран с чужой скоростью: сравнение $\frac{1}{n^3}$ с $\frac{1}{n}$ даст нулевой предел, из которого ничего не следует — берите эталон по старшей части члена

1. 1
   Прочитать каждый признак в развёрнутом виде: Даламбер, радикальный Коши, предельное сравнение, интегральный
2. 2
   Основа теории рядов: числовые ряды — частичные суммы и необходимое условие
3. 3
   Проверить себя задачами: тренажёр рядов и решатель рядов
4. 4
   Собрать формулы перед экзаменом: шпаргалка по рядам

Карта темы помещается в одну фразу: Даламбер и радикальный Коши меряют экспоненциальную скорость, сравнение и интегральный признак — полиномиальную и логарифмическую; эталоны везде одни и те же, прогрессия и $p$-ряд. Дальше по курсу признаки станут инструментом, а не предметом: в уроке о степенных рядах именно Даламбер вычислит радиус сходимости. Формулировки всех признаков собраны в термине про признак Даламбера и на страницах хаба признаков сходимости — держите их рядом с решением.